1 . 已知两个均含有
项的有限数列
，
，其中对于
，
且
．定义数列
与
之间的距离：
．定义数列的“和序列”
，其满足对于，
，数列
的项和记为：
；定义数列的“和序列”
，其满足对于，
，数列
的项和记为：
．
(1)已知数列
，
，求
和
；
(2)当
且
时，求
的所有可能取值；
(3)当
且
时，求的最大值和最小值，并分别列举一对数列，，使取到最大值和最小值；
(4)求证：对于
，当
且是4的倍数时，的最小值为0；
(5)当，
时，直接写出一对数列，，使得
．
项的有限数列，，其中对于，且．定义数列与之间的距离：．定义数列的“和序列”，其满足对于，，数列的项和记为：；定义数列的“和序列”，其满足对于，，数列的项和记为：．(1)已知数列
，，求和；(2)当
且时，求的所有可能取值；(3)当
且时，求的最大值和最小值，并分别列举一对数列，，使取到最大值和最小值；(4)求证：对于
，当且是4的倍数时，的最小值为0；(5)当
，时，直接写出一对数列，，使得．
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2 . 设递推数列
满足：
，如果对任意的首项
且
，数列中一定存在某项
，则不超过
的最大整数是____________ ．
满足：，如果对任意的首项且，数列中一定存在某项，则不超过的最大整数是
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3 . 已知实数序列
的构成规律由递推关系
，
给出.求证：
.
的构成规律由递推关系，给出.求证：.
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4 . 设
个质数
构成公差为
的等差数列，且
.求证
（1）当是质数时，
；
（2）当
时，
.
个质数构成公差为的等差数列，且.求证（1）当
是质数时，；（2）当
时，.
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5 . 已知数列
： 
,其中
是方程
的两个根，
求证： (1)对任意正整数，都有
；
(2)数列中的项都是正整数，且任意相邻两项都互质．
： ,其中是方程的两个根，求证： (1)对任意正整数
，都有；(2)数列
中的项都是正整数，且任意相邻两项都互质．
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6 . 设是非负整数, 
,我们定义由
到的映射
,其对应法则如下表所示.
其中
等于在
中k所出现的次数,例如:当
时,
可定义如表试确定,对哪些非负整数, 
是不存在的?并说明理由
是非负整数, ,我们定义由到的映射,其对应法则如下表所示.| 0 | 1 | 2 | 3 | … | k | … | n-1 | n |
| a1 | a2 | a3 | a4 | … | ak | … | an-1 | an |
等于在中k所出现的次数,例如:当时,可定义如表试确定,对哪些非负整数, 是不存在的?并说明理由| 0 | 1 | 2 | 3 |
| 1 | 2 | 1 | 0 |
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