1 . 已知
表示不超过x的最大整数，如
等，则
__________ ．
表示不超过x的最大整数，如等，则
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2023-02-07更新
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243次组卷
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2卷引用：2020年北京大学高水平艺术团招生文化课测试数学试题
2 . 已知两个均含有
项的有限数列
，
，其中对于
，
且
．定义数列
与
之间的距离：
．定义数列的“和序列”
，其满足对于，
，数列
的项和记为：
；定义数列的“和序列”
，其满足对于，
，数列
的项和记为：
．
(1)已知数列
，
，求
和
；
(2)当
且
时，求
的所有可能取值；
(3)当
且
时，求的最大值和最小值，并分别列举一对数列，，使取到最大值和最小值；
(4)求证：对于
，当
且是4的倍数时，的最小值为0；
(5)当，
时，直接写出一对数列，，使得
．
项的有限数列，，其中对于，且．定义数列与之间的距离：．定义数列的“和序列”，其满足对于，，数列的项和记为：；定义数列的“和序列”，其满足对于，，数列的项和记为：．(1)已知数列
，，求和；(2)当
且时，求的所有可能取值；(3)当
且时，求的最大值和最小值，并分别列举一对数列，，使取到最大值和最小值；(4)求证：对于
，当且是4的倍数时，的最小值为0；(5)当
，时，直接写出一对数列，，使得．
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3 . 设递推数列
满足：
，如果对任意的首项
且
，数列中一定存在某项
，则不超过
的最大整数是____________ ．
满足：，如果对任意的首项且，数列中一定存在某项，则不超过的最大整数是
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名校
4 . 已知有穷数列
，
，
，
，
满足
，且当
时，
，令
．
（1）写出
所有可能的值；
（2）求证：一定为奇数；
（3）是否存在数列
，使得
？若存在，求出数列；若不存在，说明理由．．
，，，，满足，且当时，，令．（1）写出
所有可能的值；（2）求证：
一定为奇数；（3）是否存在数列
，使得？若存在，求出数列；若不存在，说明理由．．
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5 . 如图，设A是由
个实数组成的n行n列的数表，其中aij (i，j=1，2，3，…，n)表示位于第i行第j列的实数，且aij
{1，-1}.记S(n，n)为所有这样的数表构成的集合．对于
，记ri (A)为A的第i行各数之积，cj (A)为A的第j列各数之积．令
（Ⅰ）请写出一个AS(4，4)，使得l(A)=0；
（Ⅱ）是否存在AS(9，9)，使得l(A)=0？说明理由；
（Ⅲ）给定正整数n，对于所有的AS(n，n)，求l(A)的取值集合．
个实数组成的n行n列的数表，其中aij (i，j=1，2，3，…，n)表示位于第i行第j列的实数，且aij{1，-1}.记S(n，n)为所有这样的数表构成的集合．对于，记ri (A)为A的第i行各数之积，cj (A)为A的第j列各数之积．令| a11 | a12 | … | a1n |
| a21 | a22 | a2n | |
| … | … | … | … |
| an1 | an2 | … | ann |
S(4，4)，使得l(A)=0；（Ⅱ）是否存在A
S(9，9)，使得l(A)=0？说明理由；（Ⅲ）给定正整数n，对于所有的A
S(n，n)，求l(A)的取值集合．
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6 . 已知数列{an}满足a1＝1，an＋1＝lnan＋
＋1，记Sn＝[a1]＋ [a2]＋···＋[an]，[t]表示不超过t的最大整数，则S2019的值为
＋1，记Sn＝[a1]＋ [a2]＋···＋[an]，[t]表示不超过t的最大整数，则S2019的值为| A．2019 | B．2018 | C．4038 | D．4037 |
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2019-12-16更新
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2377次组卷
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3卷引用：2019年11月北京市清华大学中学生标准学术能力诊断性测试测试数学（理）试题（二卷）
7 . 已知实数序列
的构成规律由递推关系
，
给出.求证：
.
的构成规律由递推关系，给出.求证：.
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8 . 设
个质数
构成公差为
的等差数列，且
.求证
（1）当是质数时，
；
（2）当
时，
.
个质数构成公差为的等差数列，且.求证（1）当
是质数时，；（2）当
时，.
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9 . 已知数列
： 
,其中
是方程
的两个根，
求证： (1)对任意正整数，都有
；
(2)数列中的项都是正整数，且任意相邻两项都互质．
： ,其中是方程的两个根，求证： (1)对任意正整数
，都有；(2)数列
中的项都是正整数，且任意相邻两项都互质．
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10 . 设是非负整数, 
,我们定义由
到的映射
,其对应法则如下表所示.
其中
等于在
中k所出现的次数,例如:当
时,
可定义如表试确定,对哪些非负整数, 
是不存在的?并说明理由
是非负整数, ,我们定义由到的映射,其对应法则如下表所示.| 0 | 1 | 2 | 3 | … | k | … | n-1 | n |
| a1 | a2 | a3 | a4 | … | ak | … | an-1 | an |
等于在中k所出现的次数,例如:当时,可定义如表试确定,对哪些非负整数, 是不存在的?并说明理由| 0 | 1 | 2 | 3 |
| 1 | 2 | 1 | 0 |
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