2001高三·湖南·竞赛
1 . 边长为1的菱形
的两对角线交于
,过作A2B2∥A1B1交
于
连结
交
于
,过作A3B3∥A1B1交于
,…,这样作下去得
以
为原点,所在直线为
轴,建立平面直角坐标系,设以
为半径,圆心在
,轴上的一列圆
依次相外切(即
与
外切,
),若圆T1与抛物线
相切.求证:所有的圆都与抛物线相切.
的两对角线交于,过作A2B2∥A1B1交于连结交于,过作A3B3∥A1B1交于,…,这样作下去得以为原点,所在直线为轴,建立平面直角坐标系,设以为半径,圆心在,轴上的一列圆依次相外切(即与外切,),若圆T1与抛物线相切.求证:所有的圆都与抛物线相切.
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2 . 已知函数
在区间
（
）上的最小值为
，令
（
）．求证：
．
在区间（）上的最小值为，令（）．求证：．
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3 . 如果一个数列
的任意相邻三项
、
、
满足
，则称该数列为“对数性凸数列”.设正项数列
是对数性凸数列.求证：
.
的任意相邻三项、、满足，则称该数列为“对数性凸数列”.设正项数列是对数性凸数列.求证：.
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4 . 已知一个数列的各项是1或2，首项为1，且在第
个1和第
个1之间有
个2，即1，2，1，2，2，1，2，2，2，2，1，2，2，2，2，2，2，2，2，1，…
（1）求该数列前1998项的和
；
（2）是否存在正整数
，使得数列的前项和
？若存在，求出的值；若不存在，证明你的结论.
个1和第 个1之间有 个2，即1，2，1，2，2，1，2，2，2，2，1，2，2，2，2，2，2，2，2，1，…（1）求该数列前1998项的和
；（2）是否存在正整数
，使得数列的前项和？若存在，求出的值；若不存在，证明你的结论.
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5 . 已知数列、
满足
，
.对于正整数，定义函数
.证明：若
、
为整数，且
有两个整数零点，则必有无穷多个
有两个整数零点.
、满足，.对于正整数，定义函数.证明：若、为整数，且有两个整数零点，则必有无穷多个有两个整数零点.
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