1 . 已知函数，设曲线在点处的切线与x轴的交点为，其中为正实数．
(1)用表示；
(2)求证：对一切正整数n，的充要条件是；
(3)若，记证明数列成等比数列，并求数列的通项公式．

2 . 已知数列满足，．
(1)证明：．
(2)设为数列的前n项和，证明：．

4 . 已知数列满足.
(1)证明：是正整数数列；
(2)是否存在，使得？并说明理由.

5 . 对于给定的正整数，若数列满足对任意正整数总成立，则称数列是“数列”． 若数列既是“数列”，又是“数列”，求证：是等差数列．

6 . 已知无穷实数列，，若存在，使得对任意，恒成立，则称为有界数列；记，若存在，使得对任意，恒成立，则称为有界变差数列.
(1)已知无穷数列的通项公式为，判断是否为有界数列，是否为有界变差数列，并说明理由；
(2)已知首项为，公比为实数的等比数列为有界变差数列，求的取值范围；
(3)已知两个单调递增的无穷数列和都为有界数列，记，，证明：数列为有界变差数列.

7 . 设数列满足，证明．

8 . 设，，证明数列的极限存在并求此极限.

9 . 设是实数，证明：对任何满足的实数，不等式恒成立的充要条件是：且．

10 . 在数列中，已知，．
(1)证明：．
(2)证明：当时，．