1 . 已知复数
，
，…，
，
，
，…，
，满足，，…，互不相同，，，…，互不相同．已知对任意正整数
，均有
．求证：
，
．
，，…，，，，…，，满足，，…，互不相同，，，…，互不相同．已知对任意正整数，均有．求证：，．
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2 . 记
（在模p意义下，其中p为奇质数），
为系数定义在F上的多项式且
，n为未定元
的个数．若
，证明：
除
外还有一个零点，即存在
，使得
．（注：取值也均从F中取，本题中所有等于与取值均在模意义下进行）
（在模p意义下，其中p为奇质数），为系数定义在F上的多项式且，n为未定元的个数．若，证明：除外还有一个零点，即存在，使得．（注：取值也均从F中取，本题中所有等于与取值均在模意义下进行）
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3 . 在直角坐标系xOy的横轴上取两个定点
、
，在纵轴上取两个动点
、
，满足
，
（a、b为常数），联结
、
交于点M．
（1）求点M所在的曲线P；
（2）过点
作斜率为
的直线交曲线P于点A、C，若
，且点B也在曲线P上，求证：
为定值
．
、，在纵轴上取两个动点、，满足，（a、b为常数），联结、交于点M．（1）求点M所在的曲线P；
（2）过点
作斜率为的直线交曲线P于点A、C，若，且点B也在曲线P上，求证：为定值．
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4 . 已知椭圆
的左焦点为
，过的直线
交椭圆
于
两点，
为左准线上一点，直线
的方向向量分别为
.
（1）求证：
成等差数列；
（2）能否成等比数列？试述理由.
的左焦点为，过的直线交椭圆于两点，为左准线上一点，直线的方向向量分别为.（1）求证：
成等差数列；（2）
能否成等比数列？试述理由.
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5 . 设双曲线S：
，
且
，其中
. 过点 N 的直线l交双曲线 S于A、B两点，过B作斜率为
的直线交双曲线S于点C.求证：A、M、C三点共线.
，且，其中. 过点 N 的直线l交双曲线 S于A、B两点，过B作斜率为的直线交双曲线S于点C.求证：A、M、C三点共线.
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6 . 已知非常数的整系数多项式
满足
.①证明：对所有正整数
，
至少有五个不同的质因数.
满足.①证明：对所有正整数，至少有五个不同的质因数.
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