1 . 设
是整数.对每个正整数
，令
为在
进制表示下的非零数字的个数.证明：对于任意给定的正整数和
，存在正整数
使得
.
是整数.对每个正整数，令为在进制表示下的非零数字的个数.证明：对于任意给定的正整数和，存在正整数使得.
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2 . 设是给定的正整数，
.记
，
.证明：存在正整数，使得
为一个整数，其中，
表示不小于实数
的最小整数（如
，
）.
是给定的正整数，.记，.证明：存在正整数，使得为一个整数，其中，表示不小于实数的最小整数（如，）.
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3 . 记
表示正整数 在十进制下的各位数码之和.定义
，证明：对任意的
，存在无穷多个
，
，使得
.
表示正整数 在十进制下的各位数码之和.定义，证明：对任意的 ，存在无穷多个，，使得 .
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4 . 在
展开式的全体系数中，有多少个7的倍数？
展开式的全体系数中，有多少个7的倍数？
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5 . 如果一个正整数n在三进制下的各位数字之和能被3整除，则称n为“恰当数”．求S={1,2,...,2005}中全体恰当数之和．
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6 . 数列1，1，3，3，
，，…，
，是由两个1，两个3，两个，…，两个按从小到大顺序排列，数列各项的和记为
，对于给定的自然数，若能从数列中选取一些不同位置的项，使得这些项之和恰等于，便称为一种选项方案，和数为的所有选项方案的种数记为
.试求：
的值.
，，…，，是由两个1，两个3，两个，…，两个按从小到大顺序排列，数列各项的和记为，对于给定的自然数，若能从数列中选取一些不同位置的项，使得这些项之和恰等于，便称为一种选项方案，和数为的所有选项方案的种数记为.试求：的值.
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7 . 给定正整数，已知用克数都是正整数的块砝码和一台天平可以称出质量为
克的所有物品．
（1）求的最小值
；
（2）当且仅当取什么值时，上述块砝码的组成方式是唯一确定的？并证明你的结论．
，已知用克数都是正整数的块砝码和一台天平可以称出质量为克的所有物品．（1）求
的最小值；（2）当且仅当
取什么值时，上述块砝码的组成方式是唯一确定的？并证明你的结论．
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8 . 求具有下述性质的所有正整数：对任意正整数，
.
：对任意正整数，.
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