1 . 若2020在p进制下的各位数字之和为
，则质数p的所有可能值为___________ .
，则质数p的所有可能值为
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2 . 设
是整数.对每个正整数
，令
为在
进制表示下的非零数字的个数.证明：对于任意给定的正整数和
，存在正整数
使得
.
是整数.对每个正整数，令为在进制表示下的非零数字的个数.证明：对于任意给定的正整数和，存在正整数使得.
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3 . 满足对所有的
，1，…，，都有
与2007互质的正整数的数目有（ ）个．
，1，…，，都有与2007互质的正整数的数目有（ ）个．| A．3 | B．5 | C．7 | D．9 |
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4 . 设十进制数1999在进制中写成三位数
，且
．则的值为（ ）．
进制中写成三位数，且．则的值为（ ）．| A．11 | B．15 | C．18 | D．28 |
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5 . 设
.则除以1000的余数为______ .
.则除以1000的余数为
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6 . 空间中是否存在一个正方体，它的 8 个顶点到某一平面的距离恰为 0、1、2、3、4、5、6、7？若存在，指出正方体和相应平面的位置；若不存在，请说明理由.
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7 . 设是给定的正整数，
.记
，
.证明：存在正整数，使得
为一个整数，其中，
表示不小于实数
的最小整数（如
，
）.
是给定的正整数，.记，.证明：存在正整数，使得为一个整数，其中，表示不小于实数的最小整数（如，）.
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8 . 记
表示正整数 在十进制下的各位数码之和.定义
，证明：对任意的
，存在无穷多个
，
，使得
.
表示正整数 在十进制下的各位数码之和.定义，证明：对任意的 ，存在无穷多个，，使得 .
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9 . 记
（
为素数，）为“好数”．若在进制下，100与23的差为好数，则的所有可能取值为______ ．
（为素数，）为“好数”．若在进制下，100与23的差为好数，则的所有可能取值为
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10 . 在
展开式的全体系数中，有多少个7的倍数？
展开式的全体系数中，有多少个7的倍数？
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