1 . 定义
，其中
为奇素数.
(1)给出同余方程
的满足
的一组解；
(2)（代数基本定理）设
，且
，求证
在
内至多有
个解；
(3)（
小定理）求证：
；
(4)（原根存在定理）若正整数
满足：
，且
，则记
，则称
为
在
意义下的阶，求证：必定存在
，有
；
(5)求证，存在
，都存在
中必有一者成立；
(6)说明当
时，
必有一组非零解
.
，其中为奇素数.(1)给出同余方程
的满足的一组解；(2)（代数基本定理）设
，且，求证在内至多有个解；(3)（
小定理）求证：；(4)（原根存在定理）若正整数
满足：，且，则记，则称为在意义下的阶，求证：必定存在，有；(5)求证，存在
，都存在中必有一者成立；(6)说明当
时，必有一组非零解.
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2 . 给定正整数
.已知
，且
.求满足条件的一切有序数组
.
.已知，且.求满足条件的一切有序数组.
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3 . 设
、
为正整数，
表示的所有正约数的次方之和.证明：对于任意
，存在无穷多个正整数，使得
.
、为正整数，表示的所有正约数的次方之和.证明：对于任意，存在无穷多个正整数，使得.
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4 . 设
为实数，
.证明：
(1)把写成无穷乘积有唯一的表达式
其中，
为正整数，满足
；
(2)是有理数，当且仅当它的无穷乘积具有下列性质：存在
，对所有的
，满足
为实数，.证明：(1)把
写成无穷乘积有唯一的表达式其中，为正整数，满足；(2)
是有理数，当且仅当它的无穷乘积具有下列性质：存在，对所有的，满足
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5 . 记
是所有质数从小到大排成的序列，令
．证明：对任意的正整数，闭区间
上至少有
个完全平方数．
是所有质数从小到大排成的序列，令．证明：对任意的正整数，闭区间上至少有个完全平方数．
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6 . 求所有的正整数、
、，使得
是整数．
、、，使得是整数．
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7 . 试问：能否把
表示成
的形式？其中、均为大于
且小于
的正整数，
均为两两不相等的小于
的正有理数，
均为大于
且小于
的正整数，同时，
两两不相等．
表示成的形式？其中、均为大于且小于的正整数，均为两两不相等的小于的正有理数，均为大于且小于的正整数，同时，两两不相等．
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8 . 给定整数
，设整数
，满足
，求集合
的元素个数的最小可能值.
，设整数，满足，求集合的元素个数的最小可能值.
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9 . 试确定不定方程
①的所有正整数解．
①的所有正整数解．
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10 . 设
、
、
、、、、、
为互不相等的正整数，满足下列三式：
，
，
.证明：满足题设条件的方程有无穷多组正整数解.
、、、、、、、为互不相等的正整数，满足下列三式：，，.证明：满足题设条件的方程有无穷多组正整数解.
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