1 . 如图，在四棱锥中，，且.

(1)若平面，证明：点为棱的中点；
(2)已知二面角的大小为，当平面和平面的夹角为时，求证：.

2 . 如图所示，在四棱锥PABCD中，底面ABCD是∠DAB＝60°且边长为的菱形，侧面PAD为正三角形，其所在的平面垂直于底面ABCD．

(1)若G为AD边的中点，求证：BG⊥平面PAD；
(2)若E为BC边的中点，能否在棱PC上找一点F，使得PA//平面DEF？并证明你的结论．

3 . 如图，在四棱锥中，底面ABCD为平行四边形，平面平面ABCD，，，点M为棱PC中点，平面ABM与棱PD交于点N．

(1)求证：N是棱PD的中点；
(2)再从条件①、条件②这两个条件中选择一个作为已知，求：
（i）二面角的余弦值；
（ii）在棱PA上是否存在点Q，使得平面BDM？若存在，求出的值；若不存在，说明理由．
条件①：；
条件②：．
注：如果选择条件①和条件②分别解答，按第一个解答计分．

4 . 如图①梯形中，，，，且，将梯形沿折叠得到图②，使平面平面，与相交于，点在上，且，是的中点，过三点的平面交于．

   

(1)证明：是的中点；
(2)是上一点，已知二面角为，求的值．

5 . 如图，在四棱锥中，平面为侧棱上一点，平面与侧棱交于点，且与底面所成的角为.
   
(1)求证：为线段的中点；
(2)求平面与平面的夹角的正弦值.

6 . 如图，在三棱锥中，平面．已知，分别为的中点．

(1)求证：平面；
(2)若点F在线段AC上，且满足平面，求的值．

7 . 已知正三棱柱，若过面对角线与另一面对角线平行的平面交上底面的一边于点
   
(1)确定的位置，并证明你的结论；
(2)证明：平面平面；

8 . 如图，四棱锥中，平面平面，底面是平行四边形，，，侧面是等边三角形．

   

(1)证明：；
(2)点是侧棱的中点，过两点作平面，设平面与分别交于点，当直线时，求直线与平面所成角的正弦值．

9 . 在如图所示的圆柱中，分别是下底面圆，上底面圆的直径，是圆柱的母线，为圆上一点，为上一点，且平面.
求证：.

10 . 在四棱锥中，平面，点分别为的中点．
   
(1)求证：平面；
(2)过点的平面交于点，求的值．