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解题方法
1 . 某商场为回馈顾客举行抽奖活动，顾客一次消费超过一定金额即可参加抽奖.抽奖箱里放有
个大小相同的小球，其中有两个标有“中奖”字样，每位参加抽奖的顾客一次抽奖可随机抽取两个小球.
(1)当
时，记X为一次抽奖抽到“中奖”小球的个数，求X的分布列与期望；
(2)商场规定参加抽奖的顾客一次抽奖只要抽到一个“中奖”小球即视为中奖，若使中奖概率不低于
，求n的最大值.
个大小相同的小球，其中有两个标有“中奖”字样，每位参加抽奖的顾客一次抽奖可随机抽取两个小球.(1)当
时，记X为一次抽奖抽到“中奖”小球的个数，求X的分布列与期望；(2)商场规定参加抽奖的顾客一次抽奖只要抽到一个“中奖”小球即视为中奖，若使中奖概率不低于
，求n的最大值.
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545次组卷
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2卷引用：陕西省西安市第一中学2023-2024学年高三下学期4月月考理科数学试题
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解题方法
2 . 某高中高二年级1班和2班的学生组队参加数学竞赛，1班推荐了2名男生1名女生，2班推荐了3名男生2名女生.由于他们的水平相当，最终从中随机抽取4名学生组成代表队.
(1)求1班至少有1名学生入选代表队的概率；
(2)设
表示代表队中男生的人数，求的分布列.
(1)求1班至少有1名学生入选代表队的概率；
(2)设
表示代表队中男生的人数，求的分布列.
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3 . 某市小学课后延时服务中，为学生提供了丰富多彩的兴趣课程，其中文艺类的课程有“书法”“茶艺”“民族舞”“朗诵”，体育类的课程有“乒乓球”“足球”“韵律操”“围棋”.为了了解选课情况，现在采取抽样调查，得到下表：
(1)完成如下
列联表，并依据小概率值
的独立性检验，分析学生选择兴趣课程是否与学生性别有关联；
(2)该市教育主管部门为进一步了解男生选课的情况，现从抽取的男生中用分层随机抽样的方法抽取10人，再从这10位男生中随机抽取3人进行座谈，设抽到的男生中选择“文娱类”兴趣课程的人数为，求的分布列及期望.
附：
，其中
.
文娱类 | 体育类 | |||||||
书法 | 茶艺 | 民族舞 | 朗诵 | 乒乓球 | 足球 | 韵律操 | 围棋 | |
男生 | 18 | 7 | 8 | 7 | 20 | 24 | 4 | 12 |
女生 | 24 | 14 | 18 | 14 | 18 | 10 | 14 | 8 |
列联表，并依据小概率值的独立性检验，分析学生选择兴趣课程是否与学生性别有关联；文娱类 | 体育类 | 合计 | |
男生 | |||
女生 | |||
合计 |
，求的分布列及期望.附：
，其中. | 0.10 | 0.05 | 0.010 | 0.001 |
 | 2.706 | 3.841 | 6.635 | 10.828 |
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解题方法
4 . 吃粽子是端午节的传统习俗．一盘中装有7个粽子，其中有4个豆沙馅，3个肉馅，这些粽子的外观完全相同，从中任意选取3个．
(1)求选取的3个粽子的馅相同的概率；
(2)用表示取到的肉馅粽子的个数，求的分布列和均值．
(1)求选取的3个粽子的馅相同的概率；
(2)用
表示取到的肉馅粽子的个数，求的分布列和均值．
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解题方法
5 . 袋中装有6个白球，3个黑球，从中随机地连续抽取3次，每次取1个球.
(1)若每次抽取后都不放回，设取到黑球的个数为X，求X的分布列；
(2)若每次抽取后都放回，设取到黑球的个数为Y，求Y的分布列.
(1)若每次抽取后都不放回，设取到黑球的个数为X，求X的分布列；
(2)若每次抽取后都放回，设取到黑球的个数为Y，求Y的分布列.
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6 . 甲进行摸球跳格游戏.图上标有第1格，第2格，
，第25格，棋子开始在第1格.盒中有5个大小相同的小球，其中3个红球，2个白球（5个球除颜色外其他都相同）.每次甲在盒中随机摸出两球，记下颜色后放回盒中，若两球颜色相同，棋子向前跳1格；若两球颜色不同，棋子向前跳2格，直到棋子跳到第24格或第25格时，游戏结束.记棋子跳到第
格的概率为
.
(1)甲在一次摸球中摸出红球的个数记为，求的分布列和期望；
(2)证明：数列
为等比数列，并求
的通项公式.
，第25格，棋子开始在第1格.盒中有5个大小相同的小球，其中3个红球，2个白球（5个球除颜色外其他都相同）.每次甲在盒中随机摸出两球，记下颜色后放回盒中，若两球颜色相同，棋子向前跳1格；若两球颜色不同，棋子向前跳2格，直到棋子跳到第24格或第25格时，游戏结束.记棋子跳到第格的概率为.(1)甲在一次摸球中摸出红球的个数记为
，求的分布列和期望；(2)证明：数列
为等比数列，并求的通项公式.
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7 . 当前新能源汽车已经走进我们的生活，主要部件是电池，一般地电池的生产工艺和过程条件要去较高，一般一块电池充满电后可连续正常工作的时间（小时）
,若检测到
则视为产品合格，否则进行维护，维护费用为3万元/块，近一年来由于受极端天气影响，某汽车制造公司技术部门加急对生产的一大批汽车电池随机抽取10个进行抽样检测，结果发现
.
(1)求出10个样品中有几个不合格产品；
(2)若从10 个样品中随机抽取3件，记抽到的不合格产品个数为
，求其分布列；
(3)若以样本频率估计总体，从本批次的产品中再抽取200块进行检测，记不合格品的个数为
，预计会支出多少维护费
元？
,若检测到则视为产品合格，否则进行维护，维护费用为3万元/块，近一年来由于受极端天气影响，某汽车制造公司技术部门加急对生产的一大批汽车电池随机抽取10个进行抽样检测，结果发现.(1)求出10个样品中有几个不合格产品；
(2)若从10 个样品中随机抽取3件，记抽到的不合格产品个数为
，求其分布列；(3)若以样本频率估计总体，从本批次的产品中再抽取200块进行检测，记不合格品的个数为
，预计会支出多少维护费元？
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解题方法
8 . 袋中有大小相同，质地均匀的3个白球，5个黑球，从中任取2个球，设取到白球的个数为.
(1)求随机变量的分布列；
(2)求随机变量的数学期望和方差.
.(1)求随机变量
的分布列；(2)求随机变量
的数学期望和方差.
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9 . 某校对学生餐厅的就餐环境､菜品种类与质量等方面进行了改造与提升，随机抽取100名男生与100名女生对就餐满意度进行问卷评分（满分100分）调查，调查结果统计如下表：男生：
女生：
学校规定：评分大于或等于80分为满意，小于80分为不满意．
(1)由以上数据完成下面的列联表，并判断是否有
的把握认为学生的就餐满意度与性别有关联？
(2)从男生、女生中评分在70分以下的学生中任意选取3人座谈调研，记为3人中男生的人数，求的分布列及数学期望．
附：，其中．
| 评分分组 | 70分以下 |  |  |  |
| 人数 | 3 | 27 | 38 | 32 |
| 评分分组 | 70分以下 | | | |
| 频数 | 5 | 35 | 34 | 26 |
(1)由以上数据完成下面的
列联表，并判断是否有的把握认为学生的就餐满意度与性别有关联？| 满意 | 不满意 | 总计 | |
| 男生 | |||
| 女生 | |||
| 总计 |
为3人中男生的人数，求的分布列及数学期望．附：
，其中． | 0.1 | 0.05 | 0.01 |
 | 2.706 | 3.841 | 6.635 |
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解题方法
10 . 交通拥堵指数是表征交通拥堵程度的客观指标，用TPI表示，TPI越大代表拥堵程度越高．某平台计算TPI的公式为：
，并按TPI的大小将城市道路拥堵程度划分为如下表所示的4个等级：
某市2024年元旦及其前后共7天与2023年同期的交通高峰期城市道路TPI的统计数据如下图：
(1)从2024年元旦及其前后共7天中任取2天，求这2天中至少有1天交通高峰期城市道路TPI为“拥堵”的概率；
(2)从2024年元旦及其前后共7天中任取3天，将这3天中交通高峰期城市道路TPI比2023年同日TPI高的天数记为X，求X的分布列及数学期望．
，并按TPI的大小将城市道路拥堵程度划分为如下表所示的4个等级：TPI |
|
|
| 不低于4 |
拥堵等级 | 畅通 | 缓行 | 拥堵 | 严重拥堵 |
(1)从2024年元旦及其前后共7天中任取2天，求这2天中至少有1天交通高峰期城市道路TPI为“拥堵”的概率；
(2)从2024年元旦及其前后共7天中任取3天，将这3天中交通高峰期城市道路TPI比2023年同日TPI高的天数记为X，求X的分布列及数学期望．
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