1 . 用n个不同的元素组成m个非空集合（，每个元素只能使用一次），不同的组成方案数记作例如，用1，2，3，4这4个元素组成2个非空集合共有7种方案，即；；；；；；．于是．
(1)求和：；
(2)证明：当时，；
(3)某系列手办盲盒共装有4种不同款式的手办，打开其中任何一个盲盒都可以获得1个手办（款式随机，且获得每种款式的概率都相同）
①求购买该系列盲盒7盒就能集齐全部4种款式的概率p；
②设购买该系列盲盒7盒能获得不同手办款式的种类数为随机变量X，求X的数学期望．

3 . 已知平面内点集，A中任意两个不同点之间的距离都不相等. 设集合，. 给出以下四个结论：
①若，则；
②若为奇数，则；
③若为偶数，则；
④若，则.
其中所有正确结论的序号是________.

4 . 已知数列的各项均为正整数，记集合的元素个数为.
(1)若为1，2，3，6，写出集合，并求的值；
(2)若为1，3，a，b，且，求和集合；
(3)若是递增数列，且项数为，证明：“”的充要条件是“为等比数列”.

6 . 已知点集满足，，.对于任意点集，若其非空子集A，B满足，，则称集合对为的一个优划分.对任意点集及其优划分，记A中所有点的横坐标之和为，B中所有点的纵坐标之和为.
(1)写出的一个优划分，使其满足；
(2)对于任意点集，求证：存在的一个优划分，满足；
(3)对于任意点集，求证：存在的一个优划分，满足且.

7 . 若集合，满足都是的子集，且，，均只有一个元素，且，称为的一个“有序子集列”，若有5个元素，则有多少个“有序子集列”________.

8 . 我们知道，二维空间（平面）向量可用二元有序数组表示；三维空间向盘可用三元有序数组表示．一般地，维空间向量用元有序数组表示，其中称为空间向量的第个分量，为这个分量的下标．对于维空间向量，定义集合．记的元素的个数为（约定空集的元素个数为0）．
(1)若空间向量，求及；
(2)对于空间向量．若，求证：，若，则；
(3)若空间向量的坐标满足，当时，求证：．

9 . 已知S是全体复数集的一个非空子集，如果，总有，则称S是数环．设是数环，如果①内含有一个非零复数；②且，有，则称是数域．由定义知有理数集是数域．
(1)求元素个数最小的数环；
(2)证明：记，证明：是数域；
(3)若是数域，判断是否是数域，请说明理由．

10 . 设正整数，，，这里. 若，且，则称具有性质.
(1)当时，若具有性质，且，，，令，写出的所有可能值；
(2)若具有性质：
①求证：；
②求的值.