1 . 设直线,曲线.若直线与曲线同时满足下列两个条件:①直线与曲线相切且至少有两个切点;②对任意都有.则称直线为曲线的“上夹线”.
(1)已知函数.求证:为曲线的“上夹线”;
(2)观察下图:根据上图,试推测曲线的“上夹线”的方程,并给出证明.
(1)已知函数.求证:为曲线的“上夹线”;
(2)观察下图:根据上图,试推测曲线的“上夹线”的方程,并给出证明.
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2 . 如图,已知曲线,曲线,是平面上一点,若存在过点的直线与都有公共点,则称为“型点”.
(1)证明:的左焦点是“型点”;
(2)设直线与有公共点,求证:,进而证明原点不是“型点”;
(3)求证:内的点都不是“型点”.
(1)证明:的左焦点是“型点”;
(2)设直线与有公共点,求证:,进而证明原点不是“型点”;
(3)求证:内的点都不是“型点”.
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3 . 阿基米德螺线广泛存在于自然界中,具有重要作用.如图,在平面直角坐标系xOy中,螺线与坐标轴依次交于点,并按这样的规律继续下去.(1)求.
(2)求证:不存在正整数,使得三角形的面积为2022;
(3)求证:对于任意正整数,三角形为锐角三角形.
(2)求证:不存在正整数,使得三角形的面积为2022;
(3)求证:对于任意正整数,三角形为锐角三角形.
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4 . 在平面直角坐标系中,利用公式①(其中,,,为常数),将点变换为点的坐标,我们称该变换为线性变换,也称①为坐标变换公式,该变换公式①可由,,,组成的正方形数表唯一确定,我们将称为二阶矩阵,矩阵通常用大写英文字母,,…表示.(1)如图,在平面直角坐标系中,将点绕原点按逆时针旋转角得到点(到原点距离不变),求坐标变换公式及对应的二阶矩阵;
(2)在平面直角坐标系中,求双曲线绕原点按逆时针旋转(到原点距离不变)得到的双曲线方程;
(3)已知由(2)得到的双曲线,上顶点为,直线与双曲线的两支分别交于,两点(在第一象限),与轴交于点.设直线,的倾斜角分别为,,求证:为定值.
(2)在平面直角坐标系中,求双曲线绕原点按逆时针旋转(到原点距离不变)得到的双曲线方程;
(3)已知由(2)得到的双曲线,上顶点为,直线与双曲线的两支分别交于,两点(在第一象限),与轴交于点.设直线,的倾斜角分别为,,求证:为定值.
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解题方法
5 . 已知双曲线的实轴长为2,顶点到渐近线的距离为.
(1)求双曲线的标准方程;
(2)若直线与的右支及渐近线的交点自上而下依次为,证明:;
(3)求二元二次方程的正整数解,可先找到初始解,其中为所有解中的最小值,因为,所以;因为,所以;重复上述过程,因为与的展开式中,不含的部分相等,含的部分互为相反数,故可设,所以.若方程的正整数解为,且初始解,则的面积是否为定值?若是,请求出该定值,并说明理由.
(1)求双曲线的标准方程;
(2)若直线与的右支及渐近线的交点自上而下依次为,证明:;
(3)求二元二次方程的正整数解,可先找到初始解,其中为所有解中的最小值,因为,所以;因为,所以;重复上述过程,因为与的展开式中,不含的部分相等,含的部分互为相反数,故可设,所以.若方程的正整数解为,且初始解,则的面积是否为定值?若是,请求出该定值,并说明理由.
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解题方法
6 . 在平面直角坐标系中,重新定义两点之间的“距离”为,我们把到两定点的“距离”之和为常数的点的轨迹叫“椭圆”.
(1)求“椭圆”的方程;
(2)根据“椭圆”的方程,研究“椭圆”的范围、对称性,并说明理由;
(3)设,作出“椭圆”的图形,设此“椭圆”的外接椭圆为的左顶点为,过作直线交于两点,的外心为,求证:直线与的斜率之积为定值.
(1)求“椭圆”的方程;
(2)根据“椭圆”的方程,研究“椭圆”的范围、对称性,并说明理由;
(3)设,作出“椭圆”的图形,设此“椭圆”的外接椭圆为的左顶点为,过作直线交于两点,的外心为,求证:直线与的斜率之积为定值.
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2024-03-22更新
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1172次组卷
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4卷引用:新疆乌鲁木齐地区2024届高三第二次质量监测数学试题
新疆乌鲁木齐地区2024届高三第二次质量监测数学试题山东省菏泽市第三中学2024届高三下学期3月月考数学试题(已下线)压轴题02圆锥曲线压轴题17题型汇总-3(已下线)专题20 创新定义题型(2大考向真题解读)
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解题方法
7 . 在空间解析几何中,可以定义曲面(含平面)的方程,若曲面和三元方程之间满足:①曲面上任意一点的坐标均为三元方程的解;②以三元方程的任意解为坐标的点均在曲面上,则称曲面的方程为,方程的曲面为.已知空间中某单叶双曲面的方程为,双曲面可视为平面中某双曲线的一支绕轴旋转一周所得的旋转面,已知直线过C上一点,且以为方向向量.
(1)指出平面截曲面所得交线是什么曲线,并说明理由;
(2)证明:直线在曲面上;
(3)若过曲面上任意一点,有且仅有两条直线,使得它们均在曲面上.设直线在曲面上,且过点,求异面直线与所成角的余弦值.
(1)指出平面截曲面所得交线是什么曲线,并说明理由;
(2)证明:直线在曲面上;
(3)若过曲面上任意一点,有且仅有两条直线,使得它们均在曲面上.设直线在曲面上,且过点,求异面直线与所成角的余弦值.
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2024-06-08更新
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652次组卷
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7卷引用:河南省信阳市新县高级中学2024届高三数学考前仿真冲刺卷
河南省信阳市新县高级中学2024届高三数学考前仿真冲刺卷(已下线)立体几何与空间向量-综合测试卷B卷(已下线)专题2 解析几何中动点轨迹(方程)【讲】(压轴题大全)广东省广州市第六中学2023-2024学年高二下学期期末考试数学试卷河南省普高2023-2024学年高三下学期联考测评(六)数学试卷(已下线)专题5 解析几何中的新定义压轴大题(二)【讲】(已下线)专题4 立体几何中的新定义压轴大题(过关集训)
8 . 在平面内,若直线将多边形分为两部分,多边形在两侧的顶点到直线的距离之和相等,则称为多边形的一条“等线”,已知为坐标原点,双曲线的左、右焦点分别为的离心率为2,点为右支上一动点,直线与曲线相切于点,且与的渐近线交于两点,当轴时,直线为的等线.
(1)求的方程;
(2)若是四边形的等线,求四边形的面积;
(3)设,点的轨迹为曲线,证明:在点处的切线为的等线
(1)求的方程;
(2)若是四边形的等线,求四边形的面积;
(3)设,点的轨迹为曲线,证明:在点处的切线为的等线
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2024-06-16更新
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569次组卷
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6卷引用:山东省青岛市2024届高三第三次适应性检测数学试题
山东省青岛市2024届高三第三次适应性检测数学试题(已下线)专题20 创新定义题型(2大考向真题解读)(已下线)专题5 解析几何中的新定义压轴大题(过关集训)江苏省海安高级中学2024-2025学年高三上学期9月月考数学试题江苏省海安高级中学2025届高三上学期期初检测数学试卷河南省许昌市许昌高级中学2025届高三上学期开学检测数学试题
名校
解题方法
9 . 在平面直角坐标系xOy中,已知椭圆Γ:的离心率为,直线l与Γ相切,与圆O:相交于A,B两点.当l垂直于x轴时,.
(1)求Γ的方程;
(2)对于给定的点集M,N,若M中的每个点在N中都存在距离最小的点,且所有最小距离的最大值存在,则记此最大值为.
(ⅰ)若M,N分别为线段AB与圆O上任意一点,P为圆O上一点,当的面积最大时,求;
(ⅱ)若,均存在,记两者中的较大者为.已知,,均存在,证明:.
(1)求Γ的方程;
(2)对于给定的点集M,N,若M中的每个点在N中都存在距离最小的点,且所有最小距离的最大值存在,则记此最大值为.
(ⅰ)若M,N分别为线段AB与圆O上任意一点,P为圆O上一点,当的面积最大时,求;
(ⅱ)若,均存在,记两者中的较大者为.已知,,均存在,证明:.
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2024-03-21更新
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3241次组卷
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11卷引用:江苏省南通市2024届高三第二次调研测试数学试题
江苏省南通市2024届高三第二次调研测试数学试题江苏省扬州市2024届高三第二次调研测试数学试题江苏省泰州市2024届高三第二次调研测试数学试题(已下线)模块4 二模重组卷 第2套 全真模拟卷(已下线)江苏省南通市2024届高三第二次调研测试数学试题变式题 16-19(已下线)江苏省泰州市2024届高三第二次调研测试数学试题变式题16-19天津市南开中学2023-2024学年高三下学期第五次月考数学试题(已下线)高三数学考前押题卷3(已下线)专题8 考前押题大猜想36-40(已下线)压轴题02圆锥曲线压轴题17题型汇总-3(已下线)专题20 创新定义题型(2大考向真题解读)
10 . 在椭圆(双曲线)中,任意两条互相垂直的切线的交点都在同一个圆上,该圆的圆心是椭圆(双曲线)的中心,半径等于椭圆(双曲线)长半轴(实半轴)与短半轴(虚半轴)平方和(差)的算术平方根,则这个圆叫蒙日圆.已知椭圆的蒙日圆的面积为,该椭圆的上顶点和下顶点分别为,且,设过点的直线与椭圆交于两点(不与两点重合)且直线.
(1)证明:,的交点在直线上;
(2)求直线围成的三角形面积的最小值.
(1)证明:,的交点在直线上;
(2)求直线围成的三角形面积的最小值.
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2024-03-08更新
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2154次组卷
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4卷引用:湘豫名校联考2024年2月高三第一次模拟考试数学试题
湘豫名校联考2024年2月高三第一次模拟考试数学试题(已下线)重难点14 圆锥曲线必考压轴解答题全归类【十一大题型】(举一反三)(新高考专用)-2湖南省长沙市长郡中学2023-2024学年高三下学期适应考试(二)数学试题(已下线)江苏省泰州市2024届高三第二次调研测试数学试题变式题16-19