1 . 已知抛物线，过焦点的直线与抛物线交于两点A，，当直线的倾斜角为时，.
(1)求抛物线的标准方程和准线方程；
(2)记为坐标原点，直线分别与直线，交于点，，求证：以为直径的圆过定点，并求出定点坐标.

2 . 设椭圆，椭圆的右焦点恰好是抛物线的焦点．椭圆的离心率为．
（1）求椭圆E的标准方程；
（2）设椭圆E的左、右顶点分别为A，B，过定点的直线与椭圆E交于C，D两点（与点A，B不重合），证明：直线AC，BD的交点的横坐标为定值．

3 . 设函数.
（1）当时，求函数的单调区间;
（2）当时，求证:

4 . 已知函数.
（1）求函数的单调区间；
（2）当时，如果方程有两个不等实根，求实数t的取值范围，并证明.

5 . 已知函数.
（1）若，求的零点个数；
（2）若，，证明：，.

6 . 已知函数.
（1）当时，求证：恒成立；
（2）若关于的方程至少有两个不相等的实数根，求实数的最小值.

7 . 已知函数.
(1)若在上是单调递增函数，求的取值范围；
(2)设，当时，若，其中，求证：.

8 . 已知是椭圆上的两个点，是坐标原点，若.
（1）求证：；
（2）求的面积的最大值；