1 . 已知函数，其中为非零常数.
（1）讨论的极值点个数，并说明理由；
（2）若，
①证明：在区间内有且仅有个零点；
②设为的极值点，为的零点，且，求证：.

2 . 数列满足：
（Ⅰ）写出，猜想通项公式，用数学归纳法证明你的猜想；
（Ⅱ）求证：．

3 . 已知函数．
(1)当时，求函数的单调区间；
(2)若关于的方程有两个不同实根，求实数的取值范围，并证明．

4 . 已知函数.
(1)讨论函数的单调性；
(2)若函数存在两个不同的零点，，证明：.

5 . 已知椭圆的离心率为，直线与圆相切.
（1）求椭圆的方程；
（2） 若直线与椭圆交于、两点（、不是左、右顶点），且以为直径的圆过椭圆的右顶点，证明：直线过定点，并求出该定点坐标．

6 . 如图，四棱锥中，平面，是边长为2的等边三角形，直线与底面所成的角为45°，，，是棱的中点.

（1）求证：；
（2）在棱上是否存在一点，使得平面与平面所成锐二面角的余弦值为？若存在，请指出的位置；若不存在，请说明理由.

7 . 已知函数．
（1）若是定义域上的单调函数，求实数a的取值范围；
（2）若在定义域上有两个极值点，证明：．

8 . 已知函数的导函数为.
（1）讨论函数的单调性；
（2）若函数有两个不同的零点，求证：.

9 . 已知函数（）.
（1）当时，求函数的极值；
（2）当时，证明：在上存在唯一零点.

10 . 如图，五面体中，，平面平面，平面平面.，，点P是线段上靠近A的三等分点.

（Ⅰ）求证：平面；
（Ⅱ）求直线与平面所成角的正弦值.