名校
1 . （1）已知集合
，任意从中取出k个四元子集
，均满足
的元素个数不超过2个，求k的最大值.（举出一个例子即可，无需证明）
（2）已知集合
，任意从中取出k个三元子集，均满足的元素个数不超过一个，求k的最大值.
，任意从中取出k个四元子集，均满足的元素个数不超过2个，求k的最大值.（举出一个例子即可，无需证明）（2）已知集合
，任意从中取出k个三元子集，均满足的元素个数不超过一个，求k的最大值.
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解题方法
2 . 数列
中，给定正整数
，
.定义:数列满足
，称数列的前项单调不增.
（Ⅰ）若数列通项公式为：
，求
；
（Ⅱ）若数列满足：
，求证
的充分必要条件是数列的前项单调不增；
（Ⅲ）给定正整数，若数列满足：
，且数列的前项和为
，求
的最大值与最小值.(写出答案即可)
中，给定正整数，.定义:数列满足，称数列的前项单调不增.（Ⅰ）若数列
通项公式为：，求；（Ⅱ）若数列
满足：，求证的充分必要条件是数列的前项单调不增；（Ⅲ）给定正整数
，若数列满足：，且数列的前项和为，求的最大值与最小值.(写出答案即可)
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3 . 固定项链的两端，在重力的作用下项链所形成的曲线是悬链线.1691年，莱布尼茨等得出“悬链线”方程
，其中
为参数.当
时，就是双曲余弦函数
，类似地我们可以定义双曲正弦函数
.它们与正、余弦函数有许多类似的性质.
(1)类比正弦函数的二倍角公式，请写出双曲正弦函数的一个正确的结论:
_____________.（只写出即可，不要求证明）；
(2)
，不等式
恒成立，求实数的取值范围；
(3)若
，试比较
与
的大小关系，并证明你的结论.
，其中为参数.当时，就是双曲余弦函数，类似地我们可以定义双曲正弦函数.它们与正、余弦函数有许多类似的性质.(1)类比正弦函数的二倍角公式，请写出双曲正弦函数的一个正确的结论:
_____________.（只写出即可，不要求证明）；(2)
，不等式恒成立，求实数的取值范围；(3)若
，试比较与的大小关系，并证明你的结论.
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2024-01-27更新
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897次组卷
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6卷引用：福建省宁德市2023-2024学年高一上学期1月期末质量检测数学试题
福建省宁德市2023-2024学年高一上学期1月期末质量检测数学试题重庆市缙云教育联盟2024届高三下学期2月月度质量检测数学试题（已下线）压轴题函数与导数新定义题(九省联考第19题模式）讲河南省名校联盟2023-2024学年高一下学期3月测试数学试题（已下线）第八章：向量的数量积与三角恒等变换章末重点题型复习（2）-同步精品课堂（人教B版2019必修第三册）河南省信阳市信阳高级中学2023-2024学年高一下学期3月月考（一）数学试题
4 . 篮球是一项风靡世界的运动，是深受大众喜欢的一项运动．
(1)为了解喜爱篮球运动是否与性别有关，随机抽取了男性和女性各100名观众进行调查，得到如上
列联表，判断是否有99.9%的把握认为喜爱篮球运动与性别有关．
附：
，
．
(2)校篮球队中的甲、乙、丙三名球员将进行传球训练，第1次由甲将球传出，每次传球时，传球者都等可能的将球传给另外两个人中的任何一人，如此不停地传下去，且假定每次传球都能被接到．记开始传球的人为第1次触球者，第
次触球者是甲的概率记为
，即
．
①求
（直接写出结果即可）；
②证明：数列
为等比数列，并比较第9次与第10次触球者是甲的概率的大小．
喜爱篮球运动 | 不喜爱篮球运动 | 合计 | |
男性 | 60 | 40 | 100 |
女性 | 20 | 80 | 100 |
合计 | 80 | 120 | 200 |
(1)为了解喜爱篮球运动是否与性别有关，随机抽取了男性和女性各100名观众进行调查，得到如上
列联表，判断是否有99.9%的把握认为喜爱篮球运动与性别有关． | 0.100 | 0.050 | 0.025 | 0.010 | 0.001 |
 | 2.706 | 3.841 | 5.024 | 6.635 | 10.828 |
，．(2)校篮球队中的甲、乙、丙三名球员将进行传球训练，第1次由甲将球传出，每次传球时，传球者都等可能的将球传给另外两个人中的任何一人，如此不停地传下去，且假定每次传球都能被接到．记开始传球的人为第1次触球者，第
次触球者是甲的概率记为，即．①求
（直接写出结果即可）；②证明：数列
为等比数列，并比较第9次与第10次触球者是甲的概率的大小．
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2024-01-03更新
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690次组卷
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5卷引用：江苏省南京市第九中学2023-2024学年高三8月暑期质量调研数学试题
江苏省南京市第九中学2023-2024学年高三8月暑期质量调研数学试题广西2024届高三高考桂柳鸿图模拟金卷试题（三）安徽省合肥市一六八中学2024届高三上学期期末模拟数学试题（已下线）第4讲：概率与数列的结合问题【练】（已下线）专题05 成对数据的统计分析压轴题（3）
名校
解题方法
5 . 设函数
的定义域分别为
，且
．若对于任意
，都有
，则称
为
在上的一个延伸函数．给定函数
．
(1)若是在给定
上的延伸函数，且为奇函数，求的解析式；
(2)设
为在
上的任意一个延伸函数，且
是上的单调函数．
①证明：当
时，
．
②判断
在
的单调性（直接给出结论即可）；并证明：
都有
．
的定义域分别为，且．若对于任意，都有，则称为在上的一个延伸函数．给定函数．(1)若
是在给定上的延伸函数，且为奇函数，求的解析式；(2)设
为在上的任意一个延伸函数，且是上的单调函数．①证明：当
时，．②判断
在的单调性（直接给出结论即可）；并证明：都有．
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解题方法
6 . 我们知道，函数
的图象关于坐标原点成中心对称的充要条件是函数为奇函数，有同学发现可以将其推广为：函数的图象关于点
成中心对称的充要条件是函数
为奇函数.
(1)若
.
①求此函数图象的对称中心；
②求
的值；
(2)类比上述推广结论，写出“函数y=f(x)的图象关于y轴成轴对称的充要条件是函数y=f(x)为偶函数”的一个推广结论（写出结论即可，不需证明）.
的图象关于坐标原点成中心对称的充要条件是函数为奇函数，有同学发现可以将其推广为：函数的图象关于点成中心对称的充要条件是函数为奇函数.(1)若
.①求此函数图象的对称中心；
②求
的值；(2)类比上述推广结论，写出“函数y=f(x)的图象关于y轴成轴对称的充要条件是函数y=f(x)为偶函数”的一个推广结论（写出结论即可，不需证明）.
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名校
解题方法
7 . 足球是一项大众喜爱的运动.2022卡塔尔世界杯揭幕战将在2022年11月21日打响，决赛定于12月18日晚进行，全程为期28天.
(1)为了解喜爱足球运动是否与性别有关，随机抽取了男性和女性各100名观众进行调查，得到2
2列联表如下：
依据小概率值a=0.001的独立性检验，能否认为喜爱足球运动与性别有关?
(2)校足球队中的甲、乙、丙、丁四名球员将进行传球训练，第1次由甲将球传出，每次传球时，传球者都等可能的将球传给另外三个人中的任何一人，如此不停地传下去，且假定每次传球都能被接到．记开始传球的人为第1次触球者，第次触球者是甲的概率记为，即．
（i）求（直接写出结果即可）；
（ii）证明：数列
为等比数列，并判断第19次与第20次触球者是甲的概率的大小．
(1)为了解喜爱足球运动是否与性别有关，随机抽取了男性和女性各100名观众进行调查，得到2
2列联表如下：| 喜爱足球运动 | 不喜爱足球运动 | 合计 | |
| 男性 | 60 | 40 | 100 |
| 女性 | 20 | 80 | 100 |
| 合计 | 80 | 120 | 200 |
(2)校足球队中的甲、乙、丙、丁四名球员将进行传球训练，第1次由甲将球传出，每次传球时，传球者都等可能的将球传给另外三个人中的任何一人，如此不停地传下去，且假定每次传球都能被接到．记开始传球的人为第1次触球者，第
次触球者是甲的概率记为，即．（i）求
（直接写出结果即可）；（ii）证明：数列
为等比数列，并判断第19次与第20次触球者是甲的概率的大小．
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2022-08-12更新
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3425次组卷
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14卷引用：广东省六校2023届高三上学期第一次联考数学试题
广东省六校2023届高三上学期第一次联考数学试题（已下线）8.6 分布列与其他知识综合运用（精讲）广东省东莞市第四高级中学2023届高三上学期9月月考数学试题（已下线）专题42 概率与统计的综合应用-3福建省福州第八中学2023届高三上学期质检四数学试题（已下线）专题17 概率与统计的创新题型（已下线）第八章 成对数据的统计分析（A卷·知识通关练）-【单元测试】2022-2023学年高二数学分层训练AB卷（人教A版2019）（已下线）专题9-1 概率与统计及分布列归类（理）（讲+练）-2（已下线）模块三 专题8 成对数据的统计分析--拔高能力练（人教A版）（已下线）模块三 专题7 统计--（拔高能力练）（苏教版）（已下线）模块三 专题6 统计案例--拔高能力练（北师大2019版 高二）（已下线）第九章 统计与成对数据的统计分析（测试）（已下线）考点19 概率中的数列 2024届高考数学考点总动员【练】（已下线）专题05 成对数据的统计分析压轴题（3）
名校
8 . 对于函数
，把
称为函数的一阶导，令
，则将
称为函数的二阶导，以此类推
得到n阶导.为了方便书写，我们将n阶导用
表示.
(1)已知函数
，写出其二阶导函数并讨论其二阶导函数单调性.
(2)现定义一个新的数列：在取
作为数列的首项，并将
作为数列的第
项.我们称该数列为的“n阶导数列”
①若函数
（
），数列是
的“n阶导数列”，取Tn为的前n项积，求数列
的通项公式.
②在我们高中阶段学过的初等函数中，是否有函数使得该函数的“n阶导数列”为严格减数列且为无穷数列，请写出它并证明此结论.（写出一个即可）
，把称为函数的一阶导，令，则将称为函数的二阶导，以此类推得到n阶导.为了方便书写，我们将n阶导用表示.(1)已知函数
，写出其二阶导函数并讨论其二阶导函数单调性.(2)现定义一个新的数列：在
取作为数列的首项，并将作为数列的第项.我们称该数列为的“n阶导数列”①若函数
（），数列是的“n阶导数列”，取Tn为的前n项积，求数列的通项公式.②在我们高中阶段学过的初等函数中，是否有函数使得该函数的“n阶导数列”为严格减数列且为无穷数列，请写出它并证明此结论.（写出一个即可）
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2023-12-16更新
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782次组卷
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6卷引用：上海市嘉定区2024届高三上学期质量调研数学试题
上海市嘉定区2024届高三上学期质量调研数学试题上海市普陀区长征中学2024届高三上学期10月月考数学试题（已下线）专题22 新高考新题型第19题新定义压轴解答题归纳（9大核心考点）（讲义）广东番禺中学2023-2024学年高三第六次段考数学试题广东省广州市番禺中学2024届高三第六次段考数学试题（已下线）信息必刷卷05（上海专用）
9 . 对于非负整数集合S（非空），若对任意
，
，都有
，或者
，则称S为一个好集合，以下记
为S的元素个数.
（1）写出两个所有的元素均小于3的好集合；（给出结论即可）
（2）设集合
，
，若集合S为好集合，求出a，b，c，d所满足的条件；（需说明理由）
（3）若好集合S满足
，求证：S中存在元素m，使得S中所有元素均为m的整数倍
，，都有，或者，则称S为一个好集合，以下记为S的元素个数.（1）写出两个所有的元素均小于3的好集合；（给出结论即可）
（2）设集合
，，若集合S为好集合，求出a，b，c，d所满足的条件；（需说明理由）（3）若好集合S满足
，求证：S中存在元素m，使得S中所有元素均为m的整数倍
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2021-09-08更新
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492次组卷
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5卷引用：上海市张堰中学2020-2021学年高一上学期10月月考数学试题
上海市张堰中学2020-2021学年高一上学期10月月考数学试题（已下线）专题02 集合与常用逻辑用语常考压轴题型-2021-2022学年高一《新题速递·数学》（人教A版2019）（已下线）1.1 集合的运算(第4课时）第一章 集合与逻辑（B卷·提升能力)（已下线）难关必刷01集合的综合问题（3种题型30题专项训练）-【满分全攻略】（沪教版2020必修第一册）
解题方法
10 . 已知椭圆
的左、右焦点分别是
，
，动直线l与椭圆C有且只有一个公共点P（点P在第一象限），且与x，y轴分别交于G，E两点，过点P作直线l的垂线分别交x，y轴于M，H，过点，H的直线交椭圆C于A，B两点．记
，
，
的面积分别为
，
，
．
（Ⅰ）求证：
为定值；
（Ⅱ）是否存在点P，使得
? 如果存在，写出一个点P的坐标即可；如果不存在，请说明理由．
的左、右焦点分别是，，动直线l与椭圆C有且只有一个公共点P（点P在第一象限），且与x，y轴分别交于G，E两点，过点P作直线l的垂线分别交x，y轴于M，H，过点，H的直线交椭圆C于A，B两点．记，，的面积分别为，，．（Ⅰ）求证：
为定值；（Ⅱ）是否存在点P，使得
? 如果存在，写出一个点P的坐标即可；如果不存在，请说明理由．
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