1 . 高斯二项式定理广泛应用于数学物理交叉领域.设 ，记 ，并规定.记，并规定.定义.
(1)若，求和；
(2)求 ；
(3)证明：

2 . 某市教育局决定派出8名心理咨询专家（5男3女）到甲、乙学校进行心理问题调研．
(1)每所学校均有4名专家参加调研，有多少种的安排方法？
(2)每所学校至少有3人且必须有女专家参加调研，有多少种的安排方法？

3 . 为了推动“体育助力乡村振兴”，丰富人民群众的文化生活，某地决定举办“村超”足球友谊赛.比赛邀请本地两支村足球队（实力相当）和外地两支村足球队（实力相当）参加.赛事规定：（1）比赛分为两个阶段，第一阶段：四支球队分成两组，每组进行一场比赛；第二阶段：第一阶段的胜者之间、负者之间各进行一场比赛，前者决出第一、二名，后者决出第三、四名.（2）第一阶段分组方案：采取抽签法，每组本地一支球队、外地一支球队.已知各场比赛的胜率和上座率均互相独立，单场比赛的胜率和上座率如下：

胜率	本地队	外地队
本地队	0.5	0.6
外地队	0.4	0.5
上座率	本地队	外地队
本地队	0.8	1
外地队	1	0.8

(1)第二阶段两场比赛上座率之和记为，求的分布列和数学期望；
(2)求本地足球队获得第一名的概率.

4 . 在平面直角坐标系中，已知圆和圆的方程分别为和.以坐标原点为端点作射线，与圆和圆分别交于两点.过作轴的垂线，过作轴的垂线，两垂线交于点，设点的轨迹为.
(1)求点的轨迹的方程；
(2)若曲线与轴交于两点（点位于点上方）.已知点，直线，分别和曲线交于点，直线交轴于点，求的取值范围.

5 . 自然常数，符号，为数学中的一个常数，是一个无限不循环小数，且为超越数，其值约为2.71828.它是自然对数的底数.有时称它为欧拉数（Euler number），以瑞士数学家欧拉命名；也有个较为少见的名字“纳皮尔常数”，以纪念苏格兰数学家约翰・纳皮尔（John Napier）引进对数.它就像圆周率和虚数单位，是数学中最重要的常数之一，它的其中一个定义是.设数列的通项公式为，，
(1)写出数列的前三项，，．
(2)证明：．

6 . 已知直线，，分别为，上的两个定点，点A在线段上，，，为直线上一动点，为直线上一动点，，两点均在直线的同一侧，．设．面积为．

   

(1)若，求的最小值；
(2)若，且，
①求的长；
②若线段与交与点，，求实数的值．

7 . 随着“特种兵旅行”在网络的爆火，某市文旅局准备在本市的景区推出旅游一卡通（也称旅游年卡）.为了更科学的制定一卡通的有关条例，市文旅局随机调查了2023年到本市景区旅游的1000名游客的年旅游消费支出，其旅游消费支出（单位：百元）近似服从正态分布，其中.
(1)若2023年到本市景区旅游游客为500万人，试估计2023年有多少游客（单位：万）在本市的年旅游消费支出不低于1500元；
(2)现将游客来源分为“当地游客”和“外地游客”.若从这1000名游客中随机抽取1人，抽到外地游客的概率为.规定游客的消费支出不低于1400元为三星客户，否则为一星客户.请根据已知条件完成下面的列联表，并依据小概率值的独立性检验，能否认为“客户星级”与“游客来源”有关联？

游客来源	客户星级		合计
	三星客户	一星客户
当地游客
外地游客	100
合计	300		1000

参考数据：若随机变量，则；
参考公式：，其中.

	0.10	0.05	0.01	0.001
	2.706	3.841	6.635	10.828

8 . 甲、乙两篮球俱乐部举行篮球赛，约定第一场在甲俱乐部的主场比赛，第二场在乙俱乐部的主场比赛，交替更换场地进行，先连续获胜两场的队伍直接获胜，否则先获得3场胜利的球队获胜．已知甲俱乐部在主场获胜的概率是，乙俱乐部在主场获胜的概率是，
(1)求比赛恰好四场结束的概率；
(2)求甲俱乐部获胜的概率．

9 . 已知，，，且.
(1)求点P的坐标；
(2)求实数t的值；
(3)求的值.

10 . 类比思想在数学中极为重要，例如类比于二维平面内的余弦定理，有三维空间中的三面角余弦定理：如图1，由射线，，构成的三面角，记，，，二面角的大小为，则．如图2，四棱柱中，为菱形，，，，且点在底面内的射影为的中点．

(1)求的值；
(2)直线与平面内任意一条直线夹角为，证明：；
(3)过点作平面，使平面平面，且与直线相交于点，若，求值．