1 . 如图，在矩形中，，，点，在对角线上，且，过点作于点，连接，以、为邻边作平行四边形，设.
   
(1)若时，求此时的长；
(2)若点，，在同一直线上时，求此时的值；
(3)若经过点的直线将矩形的面积平分，同时该直线将平行四边形的面积分成1：3的两部分，求此时的值.

2 . 如图①是一个小箱子放在桌面上的示意图，这部分可弯曲，在弯曲时形成一段圆弧，设圆弧所在圆的圆心为，线段，均与圆弧相切，点，分别为切点，小箱子盖面与桌面平行，此时距离桌面14cm，已知的长为10cm，的长为25.2cm.
   
(1)如图①，求弧的长度（结果保留）；
(2)如图②，若小箱子打开后弧所对的圆心角度数为60°，求小箱子顶端到桌面的距离（结果保留一位小数）.（参考数据：）

3 . 某学校在大课间举行跳绳活动，为此学校准备购置长、中、短三种跳绳若干，要求中跳绳的条数是长跳绳的2倍，且短跳绳的条数不超过长跳绳的6倍.已知长跳绳单价是20元，中跳绳的单价是15元，短跳绳的单价是8元.
(1)若学校准备用不超过2300元的现金购买200条长、中、短跳绳，问学校有几种购买方案可供选择?
(2)若学校准备恰好用3000元的现金购买条长、中、短跳绳，求的最大值.

4 . 已知都是正实数，且.
(1)证明：必在和之间；
(2)请问：和这两个数，哪一个更接近于，说明你的理由；
(3)请你再写出一个式子，使得它的值比和的值更接近于.

5 . 射影几何的奠基人之一，法国数学家庞斯莱（1788-1867）发明过一种玩具，如图，这种玩具用七根小棍做成，各个连接点均可活动.与等长，，，，等长，并且，使用时，将，钉牢在平板上，并使，间的距离等于木棍的长，绕点转动点，则点在一个圆上运动，点就会在一条直线上运动.这样一边画圆一边画直线据此可设计出“狗熊走钢丝”等好玩的游戏.问题探究：爱玩的小明看到这段材料，就想用数学家制作的这个玩具玩一把，可是身边没有这个玩具，怎么办呢？想了又想，最后他想用几何画板来模拟这个玩具，于是，他用几何画板构造了如图所示的“玩具”，在电脑上玩了起来，确实发现当点在上运动时，点在一条直线上动，而且与垂直，垂足为，怎么来说明这个结论呢？小明百思不得其解时，聪明的考生请你帮帮小明.问题解决：
   
(1)求证：，，在一条直线上；
(2)求证：点在一定直线上运动.

6 . 已知为的切线，与交于，弦经过点.求证：平分.
   

7 . （1）已知实数满足，试证明：.（为正整数，且）
（2）试解下列方程：①
②

8 . 如图，已知点的坐标为，直线与轴､轴分别交于点和点，连接，顶点为的抛物线过三点.

(1)请直接写出两点的坐标，抛物线的解析式及顶点的坐标；
(2)设抛物线的对称轴交线段于点是第一象限内抛物线上一点，过点作轴的垂线，交线段于点，若四边形为平行四边形，求点的坐标；
(3)是第一象限内抛物线上一点，连接，构成，当的面积达到最大值时，求出点的坐标及面积的最大值.
(4)在第（3）题的条件下，点是过点垂直于轴的直线上一动点，点是抛物线对称轴上一动点，求的最小值.

9 . 设为素数，记，试问当时，能否作为三角形的三边长？证明你的结论.

10 . （1）已知，求函数的值.
（2）解方程.