1 . 边长为的正方形中，是对角线上的一个动点（点与A､不重合），连接，将绕点顺时针旋转到，连接，与交于点，延长线与（或延长线）交于点.

(1)连接，证明：；
(2)设，，试写出关于的函数关系式，并求当为何值时，；
(3)猜想与的数量关系，并证明你的结论.

2 . 已知函数的图象在定义域上连续不断.若存在常数，使得对于任意的，恒成立，称函数满足性质.
(1)若满足性质，且，求的值；
(2)若，试说明至少存在两个不等的正数，同时使得函数满足性质和.（参考数据：）
(3)若函数满足性质，求证：函数存在零点.

3 . 如图1，抛物线的顶点在轴正半轴上，交轴于点，.

(1)求抛物线的解析式；
(2)如图2，是第一象限内抛物线上对称轴右侧一点，过的直线与抛物线有且只有一个公共点，交抛物线对称轴于点，连交对称轴于点，若，求直线的解析式；
(3)若点､是抛物线的两点，以线段为直径的圆经过点，求证：始终经过一个定点，并求出该定点的坐标.

4 . 已知指数函数，且）过；在①，②函数的顶点坐标为，③函数，且过定点从这三个条件中任选一个，回答下列问题．
（1）求的解析式，判断并证明的奇偶性；
（2）解不等式：．