解题方法
1 . 早在15世纪，达・芬奇就曾提出一种制作正二十面体的方法：如图1，先制作三张一样的黄金矩形
，然后从长边
的中点
出发，沿着与短边平行的方向剪开一半，即
，再沿着与长边
平行的方向剪出相同的长度，即
，将这三个矩形穿插两两垂直放置，连结所有顶点即可得到一个正二十面体，如图2.若黄金矩形的短边长为4，则按如上制作的正二十面体的表面积为______ ，其外接球的表面积为______ .
，然后从长边的中点出发，沿着与短边平行的方向剪开一半，即，再沿着与长边平行的方向剪出相同的长度，即，将这三个矩形穿插两两垂直放置，连结所有顶点即可得到一个正二十面体，如图2.若黄金矩形的短边长为4，则按如上制作的正二十面体的表面积为
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2021-05-14更新
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580次组卷
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3卷引用：江苏省南京市2021届高三下学期5月第三次模拟考试数学试题
江苏省南京市2021届高三下学期5月第三次模拟考试数学试题苏教版(2019) 必修第二册 过关斩将 第13章 本章达标检测（已下线）第六章 突破立体几何创新问题 专题二 交汇世界文化 微点2 与世界文化遗产有关的的立体几何问题综合训练【基础版】
名校
2 . 东汉末年的数学家赵爽在《周髀算经》中利用一副“弦图”，根据面积关系给出了勾股定理的证明，后人称其为“赵爽弦图”
如图
，它由四个全等的直角三角形与一个小正方形拼成的一个大正方形．我们通过类比得到图
，它是由三个全等的钝角三角形与一个小等边三角形
拼成的一个大等边三角形
，对于图，下列结论正确的是（ ）
如图，它由四个全等的直角三角形与一个小正方形拼成的一个大正方形．我们通过类比得到图，它是由三个全等的钝角三角形与一个小等边三角形拼成的一个大等边三角形，对于图，下列结论正确的是（ ）
| A．这三个全等的钝角三角形不可能是等腰三角形 |
B．若 ， ，则 |
C．若 ，则 |
D．若 是 的中点，则三角形的面积是三角形面积的 倍 |
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2023-05-11更新
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446次组卷
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10卷引用：广东省茂名市五校联盟2022届高三上学期第二次联考数学试题
广东省茂名市五校联盟2022届高三上学期第二次联考数学试题（已下线）11.2 正弦定理-2021-2022学年高一数学10分钟课前预习练（苏教版2019必修第二册）福建省龙岩第一中学2021-2022学年高一下学期第二次月考数学试题（已下线）广东省广州市华南师范大学附属中学2021-2022学年高一下学期期中数学试题宁夏回族自治区银川一中2022-2023学年高一下学期期中考试数学试题广东省清远市阳山县南阳中学2022-2023学年高一下学期第二次月考数学试题（已下线）模块二 专题5 解三角形 A基础卷（人教B）（已下线）模块二 专题2 解三角形 A基础卷（已下线）第四章 三角函数与解三角形 第六节 第二课时 正弦定理与余弦定理(二)（B素养提升卷)福建省厦门第二中学2023-2024学年高一下学期第一阶段考试数学试卷
3 . 中国古代计时器的发明时间不晚于战国时代(公元前476年~前222年)，其中沙漏就是古代利用机械原理设计的一种计时装置，它由两个形状完全相同的容器和一个狭窄的连接管道组成，开始时细沙全部在上部容器中，细沙通过连接管道流到下部容器.如图，某沙漏由上､下两个圆锥容器组成，圆锥底面圆的直径和高均为4cm，当细沙全部在上部时，其高度为圆锥高度的
(细管长度忽略不计).若细沙的流速为每分钟1cm3，则上部细沙全部流完的时间约为___________ 分钟(结果精确到整数部分)；若细沙全部漏入下部后，恰好堆成一个盖住沙漏底部的圆锥形沙堆，则该沙堆的高为___________ cm.
(细管长度忽略不计).若细沙的流速为每分钟1cm3，则上部细沙全部流完的时间约为
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2021-07-09更新
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197次组卷
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3卷引用：陕西省商洛市2020-2021学年高二下学期期末理科数学试题
4 . 中国古代计时器的发明时间不晚于战国时代（公元前
年~前
年），其中沙漏就是古代利用机械原理设计的一种计时装置，它由两个形状完全相同的容器和一个狭窄的连接管道组成，开始时细沙全部在上部容器中，细沙通过连接管道流到下部容器，如图，某沙漏由上、下两个圆锥容器组成，圆锥的底面圆的直径和高均为
，细沙全部在上部时，其高度为圆锥高度的
（细管长度忽略不计）.若细沙全部漏入下部后，恰好堆成一个盖住沙漏底部的圆锥形沙堆，则此圆锥形沙堆的高为___________ 
.
年~前年），其中沙漏就是古代利用机械原理设计的一种计时装置，它由两个形状完全相同的容器和一个狭窄的连接管道组成，开始时细沙全部在上部容器中，细沙通过连接管道流到下部容器，如图，某沙漏由上、下两个圆锥容器组成，圆锥的底面圆的直径和高均为，细沙全部在上部时，其高度为圆锥高度的（细管长度忽略不计）.若细沙全部漏入下部后，恰好堆成一个盖住沙漏底部的圆锥形沙堆，则此圆锥形沙堆的高为.
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2021-02-24更新
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1014次组卷
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4卷引用：湖南省常德市第一中学2021届高三下学期第五次月考数学试题
湖南省常德市第一中学2021届高三下学期第五次月考数学试题（已下线）【新东方】高中数学20210429—012【2021】【高一下】（已下线）【新东方】高中数学20210513-005【2021】【高一下】浙江省杭州市学军中学(紫金港学区)2020-2021学年高一下学期期中数学试题
5 . 正多面体也称柏拉图立体，被誉为最有规律的立体结构，其所有面都只由一种正多边形构成的多面体（各面都是全等的正多边形，且每一个顶点所接的面数都一样，各相邻面所成二面角都相等）.数学家已经证明世界上只存在五种柏拉图立体，即正四面体、正六面体、正八面体、正十二面体、正二十面体.已知一个正四面体
和一个正八面体
的棱长都是
（如图），把它们拼接起来，使它们一个表面重合，得到一个新多面体.
（1）求新多面体的体积；
（2）求正八面体
中二面角
的余弦值；
（3）判断新多面体为几面体？（只需给出答案，无需证明）
和一个正八面体的棱长都是（如图），把它们拼接起来，使它们一个表面重合，得到一个新多面体.（1）求新多面体的体积；
（2）求正八面体
中二面角的余弦值；（3）判断新多面体为几面体？（只需给出答案，无需证明）
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6 . 攒尖是我国古代建筑中屋顶的一种结构形式，通常有圆形撄尖､三角攒尖､四角撷尖､八角攒尖，多见于亭阁式建筑､园林建筑.下面以四角攒尖为例，如图，它的屋顶部分的轮廓可近似看作一个正四棱锥，已知此正四棱锥的侧棱与底面所成角的正弦值为
，侧棱长为
米，则下列关于正四棱锥的说法正确的是（ ）
，侧棱长为米，则下列关于正四棱锥的说法正确的是（ ）| A．底面边长为6米 |
B．正四棱锥侧面与底面所成二面角大小为 |
C．体积为 立方米 |
D．正四棱锥的外接球的表面积为 立方米 |
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解题方法
7 . 攒尖是我国古代建筑中屋顶的一种结构形式，宋代称为撮尖，清代称攒尖，通常有圆形攒尖、三角攒尖、四角攒尖，六角攒尖、八角攒尖，也有单檐和重檐之分，多见于亭阁式建筑、园林建筑.下面以六角攒尖为例，如图，它的屋顶部分的轮廓可近似看作一个正六棱锥.已知此正六棱锥的侧面与底面所成的锐二面角为θ，这个角接近30°，若取θ=30°，侧棱长为
米，则（ ）
米，则（ ）| A．正六棱锥的底面边长为2米 |
B．正六棱锥的侧棱与底面所成角的正切值为 |
| C．正六棱锥的侧面积为48平方米 |
D．正六棱锥的体积为16 立方米 |
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名校
解题方法
8 . 中国茶文化博大精深，小明在茶艺选修课中了解到，不同类型的茶叶由于在水中溶解性的差别，达到最佳口感的水温不同.为了方便控制水温，小明联想到牛顿提出的物体在常温环境下温度变化的冷却模型：如果物体的初始温度是
，环境温度是
，则经过时间
（单位：分）后物体温度
将满足：
，其中
为正的常数.小明与同学一起通过多次测量求平均值的方法得到
初始温度为98℃的水在19℃室温中温度下降到相应温度所需时间如表所示：
(1)请依照牛顿冷却模型写出冷却时间（单位：分）关于冷却水温（单位：℃）的函数关系，并选取一组数据求出相应的值（精确到0.01）.
(2)“碧螺春”用75℃左右的水冲泡可使茶汤清澈明亮，口感最佳.在（1）的条件下，水煮沸后在19℃室温下为获得最佳口感大约冷却___________分钟左右冲泡，请在下列选项中选择一个最接近的时间填在横线上，并说明理由.
A.5 B.7 C.10
（参考数据：
，
，
，
，
）
，环境温度是，则经过时间（单位：分）后物体温度将满足：，其中为正的常数.小明与同学一起通过多次测量求平均值的方法得到初始温度为98℃的水在19℃室温中温度下降到相应温度所需时间如表所示： | 从98℃下降到90℃所用时间 | 1分58秒 |
| 从98℃下降到85℃所用时间 | 3分24秒 |
| 从98℃下降到80℃所用时间 | 4分57秒 |
（单位：分）关于冷却水温（单位：℃）的函数关系，并选取一组数据求出相应的值（精确到0.01）.(2)“碧螺春”用75℃左右的水冲泡可使茶汤清澈明亮，口感最佳.在（1）的条件下，
水煮沸后在19℃室温下为获得最佳口感大约冷却___________分钟左右冲泡，请在下列选项中选择一个最接近的时间填在横线上，并说明理由.A.5 B.7 C.10
（参考数据：
，，，，）
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2021-12-28更新
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479次组卷
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3卷引用：四川外语学院重庆第二外国语学校2021-2022学年高一上学期第二次质量检测数学试题
四川外语学院重庆第二外国语学校2021-2022学年高一上学期第二次质量检测数学试题广东省中山市2021-2022学年高一上学期期末数学试题（已下线）模块四 专题8 新情境专练 拔高 期末终极研习室（2023-2024学年第一学期）高一人教A版
9 . “比特币”对于大家来说，已经再熟悉不过了.但是你知道比特币是通过哈希算法来加密的吗？实际上，哈希算法是一种加密技术.已知
是最简单的哈希算法之一，它把一个较大数字的每一位改成它除以素数
所得到的余数.如：对于
进行
，我们得到的哈希值为
，那么对它进行
，将得到________ .同时，我们容易发现使得后得到哈希值为的正整数共有________ 个（可以不写出具体数字，用类似于
的表达式表示）.
是最简单的哈希算法之一，它把一个较大数字的每一位改成它除以素数所得到的余数.如：对于进行，我们得到的哈希值为，那么对它进行，将得到后得到哈希值为的正整数共有的表达式表示）.
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名校
解题方法
10 . 马林·梅森(MarinMersenne，1588-1648)是17世纪法国数学家．他在欧几里得、费马等人研究的基础上深入地研究了
型的数．人们为纪念梅森在数论方面的这一贡献，将形如(其中是素数)的素数，称为梅森素数．在不超过20的素数中，随机选取两个不同的数，至少有一个为梅森素数的概率是（ ）
型的数．人们为纪念梅森在数论方面的这一贡献，将形如(其中是素数)的素数，称为梅森素数．在不超过20的素数中，随机选取两个不同的数，至少有一个为梅森素数的概率是（ ）A． | B． | C． | D． |
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2021-06-04更新
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807次组卷
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4卷引用：江苏省泰州市2021届高三下学期考前练笔数学试题
江苏省泰州市2021届高三下学期考前练笔数学试题河北省武安市第一中学2022届高三上学期第四次调研数学试题（已下线）专题11 费马（已下线）第六篇 数论 专题1 数论中的特殊数 微点1 数论中的特殊数
