名校
解题方法
1 . 记数列
的前n项和为
，对任意正整数n，有
，且
．
(1)求
和
的值，并猜想的通项公式；
(2)证明第（1）问猜想的通项公式；
(3)设
，数列
的前n项和为
，求证：
．
的前n项和为，对任意正整数n，有，且．(1)求
和的值，并猜想的通项公式；(2)证明第（1）问猜想的通项公式；
(3)设
，数列的前n项和为，求证：．
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2 . 已知正项数列的前
项和为，
.
(1)记
，证明：数列
的前项和
；
(2)若
，求证：数列
为等差数列，并求的通项公式.
的前项和为，.(1)记
，证明：数列的前项和；(2)若
，求证：数列为等差数列，并求的通项公式.
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2023-08-29更新
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802次组卷
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3卷引用：湖南省常德市第一中学2024届高三上学期第三次月考数学试题
3 . 已知数列满足，
.
(1)求证数列
是等差数列，并求数列的通项公式；
(2)令
，数列的前项和为，证明：对于任意的
，都有
.
满足，.(1)求证数列
是等差数列，并求数列的通项公式；(2)令
，数列的前项和为，证明：对于任意的，都有.
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名校
解题方法
4 . 已知数列满足
，且
.
（1）证明：
为等差数列；
（2）令
，设数列的前n项和为，求证：对任意
，
.
满足，且.（1）证明：
为等差数列；（2）令
，设数列的前n项和为，求证：对任意，.
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5 . 已知各项均为正数的数列满足
，且，
．
（1）证明：数列
是等差数列；
（2）数列
的前项和为，求证：
．
满足，且，．（1）证明：数列
是等差数列；（2）数列
的前项和为，求证：．
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2021-02-21更新
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124次组卷
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2卷引用：湖南省益阳市桃江县第一中学2020-2021学年高二(研学班)下学期入学考试数学试题
名校
解题方法
6 . 已知数列的首项
，
，
、
、
．
（1）求证：数列
为等比数列；
（2）记
，若
，求最大正整数；
（3）是否存在互不相等的正整数
、
、，使、、成等差数列且
、
、
成等比数列，如果存在，请给出证明；如果不存在，请说明理由．
的首项，，、、．（1）求证：数列
为等比数列；（2）记
，若，求最大正整数；（3）是否存在互不相等的正整数
、、，使、、成等差数列且、、成等比数列，如果存在，请给出证明；如果不存在，请说明理由．
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2020-07-26更新
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316次组卷
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9卷引用：湖南省长沙市长郡中学2019-2020学年高三10月月考数学（理）试题
湖南省长沙市长郡中学2019-2020学年高三10月月考数学（理）试题湖南省长沙市长郡中学2019-2020学年高三上学期第二次月考理科数学试题江苏省南通市如皋中学2017-2018学年第一学期高三第二次阶段测试12月数学试题广东省茂名市电白区2018-2019学年高一下学期期中数学试题江西省抚州市临川第一中学2019-2020学年高一下学期开学考试数学试题江苏省南通市2019-2020学年高三上学期开学模拟考试数学试题福建省永泰一中2021届高三上学期数学月考试题（已下线）专题07 《数列》中的最值问题-2021-2022学年高二数学同步培优训练系列（苏教版2019选择性必修第一册）江西省景德镇一中2021-2022学年高一（19）班下学期期中考试数学试题
解题方法
7 . 已知数列满足，
．
（1）证明数列
是等比数列，并求的通项公式；
（2）记
，设数列的前项和为，求证：
．
满足，．（1）证明数列
是等比数列，并求的通项公式；（2）记
，设数列的前项和为，求证：．
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2017-11-14更新
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979次组卷
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3卷引用：【校级联考】湖南省株洲市醴陵一中、攸县一中2018-2019学年高二（上）期中联考数学试卷（理科）试题
8 . 在数列
中，已知
.
(1)证明数列
是等比数列，并求数列的通项公式；
(2)设
的前项和为，求证：
.
中，已知.(1)证明数列
是等比数列，并求数列的通项公式；(2)设
的前项和为，求证：.
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8-9高三·湖南·期末
9 . 设等比数列{
}的前项和，首项，公比
.
(Ⅰ)证明：
；
(Ⅱ)若数列{
}满足
，
，求数列{}的通项公式；
(Ⅲ)若
，记
，数列{
}的前项和为，求证：当
时，
.
}的前项和，首项，公比.(Ⅰ)证明：
；(Ⅱ)若数列{
}满足，，求数列{}的通项公式；(Ⅲ)若
，记，数列{}的前项和为，求证：当时，.
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10 . 如图为英国生物学家高尔顿设计的“高尔顿板”示意图，每一个黑点代表钉在板上的一颗钉子，下方有从左至右依次编号为
的格子（此时钉子层数为
）.当小球从板口下落时，它将碰到钉子并有
的概率向左或向右滚下，继续碰至下一层钓子，依次类推落入底部格子.记小球落入格子的编号为
.定义
.
时的分布列；
(2)证明：
；
(3)改变格子个数（钉子层数相应改变），进行
次实验，第
且
次实验中向格子最大编号为的高尔顿板中投入
个小球，记所有实验中所有小球落入的格子编号之和为
.已知无交集的独立事件的期望具有累加性，设每次实验､每次投球相互独立，求
关于
的表达式.
的格子（此时钉子层数为）.当小球从板口下落时，它将碰到钉子并有的概率向左或向右滚下，继续碰至下一层钓子，依次类推落入底部格子.记小球落入格子的编号为.定义.
时的分布列；(2)证明：
；(3)改变格子个数（钉子层数相应改变），进行
次实验，第且次实验中向格子最大编号为的高尔顿板中投入个小球，记所有实验中所有小球落入的格子编号之和为.已知无交集的独立事件的期望具有累加性，设每次实验､每次投球相互独立，求关于的表达式.
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