1 . 数列：，，，…，，…，对于给定的（，），记满足不等式：（，）的构成的集合为．
（Ⅰ）若数列，写出集合；
（Ⅱ）如果（，）均为相同的单元素集合，求证：数列，，…，，…为等差数列；
（Ⅲ）如果（，）为单元素集合，那么数列，，…，，…还是等差数列吗？如果是等差数列，请给出证明；如果不是等差数列，请给出反例．

2 . 记无穷数列的前项中最大值为，最小值为，令，则称是“极差数列”.
（1）若，求的前项和；
（2）证明：的“极差数列”仍是；
（3）求证：若数列是等差数列，则数列也是等差数列.

3 . 设无穷数列的每一项均为正数，对于给定的正整数，()，若是等比数列，则称为数列.
（1）求证：若是无穷等比数列，则是数列；
（2）请你写出一个不是等比数列的数列的通项公式；
（3）设为数列，且满足，请用数学归纳法证明：是等比数列.

4 . 已知函数，且存在，使得，设，，，．
（Ⅰ）证明单调递增；
（Ⅱ）求证：；
（Ⅲ）记，其前项和为，求证：．

5 . 已知递增数列的前项和为，且满足，.
（1）求证：数列为等差数列；
（2）试求所有的正整数，使得为整数；
（3）证明：.

6 . 若无穷数列满足：，且对任意的，（，，，）都有，则称数列为“G”数列.
（1）已知等比数列的通项为，证明：是“G”数列；
（2）记数列的前n项和为且有，若对每一个取，中的较小者组成新的数列，若数列为“G”数列，求实数的取值范围？
（3）若数列是“G”数列，且数列的前n项之积满足，求证：数列是等比数列.

7 . 定义函数的所有零点构成严格单调增数列.
（1）求证:;
（2）若对任意的存在负数使得方程有两个不等实解与,并且满足,试证明:.

8 . 如果无穷数列{a_n}满足条件：①；② 存在实数M，使得a_n≤M，其中n∈N^*，那么我们称数列{a_n}为Ω数列.
（1）设数列{b_n}的通项为b_n＝20n－2ⁿ，且是Ω数列，求M的取值范围；
（2）设{c_n}是各项为正数的等比数列，S_n是其前n项和，c₃＝，S₃＝，证明：数列{S_n}是Ω数列；
（3）设数列{d_n}是各项均为正整数的Ω数列，求证：d_n≤d_n＋1.

9 . 已知数列满足：，，.
（1）求的值；
（2）设，求证：数列是等比数列，并求出其通项公式；
（3）对任意的，，在数列中是否存在连续的项构成等差数列？若存在，写出这项，并证明这项构成等差数列：若不存在，请说明理由.

10 . 定义：若数列满足，存在实数，对任意，都有，则称数列有上界，是数列的一个上界，已知定理：单调递增有上界的数列收敛（即极限存在）.
（1）数列是否存在上界？若存在，试求其所有上界中的最小值；若不存在，请说明理由；
（2）若非负数列满足，（），求证：1是非负数列的一个上界，且数列的极限存在，并求其极限；
（3）若正项递增数列无上界，证明：存在，当时，恒有.