解题方法
1 . 阅读下面题目及其证明过程，在
处填写适当的内容．
已知三棱柱
，
平面
，
，
分别为
的中点．
（1）求证：
∥平面；
（2）求证：
⊥
．
解答：（1）证明： 在
中，
因为分别为的中点，
所以 ① ．
因为
平面，
平面，
所以∥平面．
（2）证明：因为平面，
平面，
所以 ② ．
因为，
所以
．
又因为
，
所以 ③ ．
因为
平面
，
所以
．
上述证明过程中，第（1）问的证明思路是先证“线线平行”，再证“线面平行”； 第（2）问的证明思路是先证 ④ ，再证 ⑤ ，最后证“线线垂直”．
处填写适当的内容．已知三棱柱
，平面，，分别为 的中点．（1）求证：
∥平面；（2）求证：
⊥．解答：（1）证明： 在
中，因为
分别为的中点，所以 ① ．
因为
平面，平面，所以
∥平面．（2）证明：因为
平面，平面，所以 ② ．
因为
，所以
．又因为
，所以 ③ ．
因为
平面，所以
．上述证明过程中，第（1）问的证明思路是先证“线线平行”，再证“线面平行”； 第（2）问的证明思路是先证 ④ ，再证 ⑤ ，最后证“线线垂直”．
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名校
2 . 如图，在四棱锥P－ABCD中，底面ABCD是平行四边形，∠ACB＝90°，PA⊥平面ABCD，
，
，F是BC的中点．
(1)求证：AD⊥平面PAC；
(2)试在线段PD上确定一点G，使
∥平面PAF，请指出点G在PD上的位置，并加以证明；
(3)求平面PAF与平面PCD夹角的余弦值．
，，F是BC的中点．(1)求证：AD⊥平面PAC；
(2)试在线段PD上确定一点G，使
∥平面PAF，请指出点G在PD上的位置，并加以证明；(3)求平面PAF与平面PCD夹角的余弦值．
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2022-11-22更新
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324次组卷
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5卷引用：北京市顺义牛栏山第一中学2020-2021学年高二上学期期中数学试题
3 . 如图，矩形ABCD所在平面与半圆弧
所在平面垂直，M是上异于C，D的点．
(1)证明：平面AMD⊥平面BMC；
(2)若P点是线段AM的中点，求证：MC∥平面PBD．
所在平面垂直，M是上异于C，D的点．(1)证明：平面AMD⊥平面BMC；
(2)若P点是线段AM的中点，求证：MC∥平面PBD．
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2021-11-15更新
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597次组卷
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7卷引用：北京师范大学附属实验中学2020-2021学年高二上学期期中考试数学试题
北京师范大学附属实验中学2020-2021学年高二上学期期中考试数学试题（已下线）第二章+点、直线、平面之间的位置关系（能力提升）-2020-2021学年高一数学单元测试定心卷（人教版必修2）（已下线）8.6空间直线、平面的垂直（1）（精炼）-2020-2021学年高一数学一隅三反系列（人教A版2019必修第二册）广东省广州市八十九中2021-2022学年高二上学期期中数学试题广东省广州市第八十九中学2021-2022学年高一上学期期中数学试题沪教版(2020) 必修第三册 达标检测 第10章 10.4 平面与平面的位置关系沪教版(2020) 必修第三册 同步跟踪练习 第10章 10.3~10.4 阶段综合训练
名校
4 . 如图，在三棱柱中，是正方形，平面，，
，
.
(1)求证：
平面
；
(2)求二面角
的余弦值；
(3)证明：在线段
上存在点
，使得
，并求
的值.
中，是正方形，平面，，，.(1)求证：
平面；(2)求二面角
的余弦值；(3)证明：在线段
上存在点，使得，并求的值.
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2021-11-19更新
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479次组卷
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4卷引用：北京五十中分校2020届高三上学期期中数学试题
名校
解题方法
5 . 如图所示，四边形ABCD是边长为3的正方形，
平面ABCD，
，
，BE与平面ABCD所成角为60°.
(1)求证：
平面BDE；
(2)求二面角
的余弦值；
(3)设点M是线段BD上的一个动点，试确定点M的位置，使得
平面BEF，并证明你的结论.
平面ABCD，，，BE与平面ABCD所成角为60°.(1)求证：
平面BDE；(2)求二面角
的余弦值；(3)设点M是线段BD上的一个动点，试确定点M的位置，使得
平面BEF，并证明你的结论.
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2021-11-11更新
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1830次组卷
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27卷引用：北京东城171中2016-2017学年高二上期中数学（理）试题
北京东城171中2016-2017学年高二上期中数学（理）试题北京市朝阳区第80中学2017届高三上12月月考数学试题北京市朝阳区80中学2017届高三上学期12月月考数学（理）试题北京市海淀区北京理工大学附属中学2020-2021学年高二上学期期中考试数学试题北京市西城区北京师范大学第二附属中学2022届高三上学期期中数学试题（已下线）2015高考数学（理）一轮配套特训：7-7立体几何中的向量方法辽宁省丹东市2017-2018学年高二数学理科上学期期末考试试题河北省衡水市阜城中学2017-2018学年高二上学期第五次月考数学（理）试题【全国百强校】2018年天津市南开中学高三模拟考试数学（理）2018-2019人教A版高中数学选修2-1第三章 空间向量与立体几何 章末评估验收(三)【全国百强校】天津市南开中学2018-2019学年高三（下）第四次月考数学试题（理科）（2月份）（已下线）第01章+章末复习课（重点练）-2020-2021学年高二数学十分钟同步课堂专练（人教A版选择性必修第一册）山东省滕州市第一中学2020-2021学年高二9月开学收心考试数学试题人教B版(2019) 选择性必修第一册 过关斩将 第一章 空间向量与立体几何 本章复习提升（已下线）3.5 章末复习课（重点练）-2020-2021学年高二数学（理）十分钟同步课堂专练（人教A版选修2-1）重庆十八中两江实验中学2020-2021学年高二上学期12月月考数学试题福建省南平市浦城县2021届高三上学期期中测试数学试题北京市第一七一中学2023-2024学年高二上学期期中调研数学试题云南省大理下关第一中学教育集团2021-2022学年高二上学期段考数学试卷（一）试题（已下线）考点52 空间向量在立体几何中的运用-备战2022年高考数学一轮复习考点帮（新高考地区专用）【学科网名师堂】河北省邢台市第一中学2021-2022学年高二上学期第三次月考数学试题（已下线）考点31 直线、平面平行与垂直的判定与性质-备战2022年高考数学典型试题解读与变式（已下线）重难点03 空间向量与立体几何-2022年高考数学【热点·重点·难点】专练（新高考专用）江苏省苏州第十中学2022届高三下学期3月阶段检测数学试题（已下线）一轮巩固卷02-【赢在高考·黄金20卷】备战2022年高考数学模拟卷（新高考专用）（已下线）2022年高考考前20天终极冲刺攻略（三）【理科数学】 （5月27日）宁夏育才中学2022-2023学年高二下学期开学考试理科数学试题
解题方法
6 . 如图，在四棱锥
中，底面ABCD是菱形，
，
平面ABCD，
，
，
.
（1）求证：直线
平面PNC；
（2）在AB上是否存在一点E，使
平面PDE，若存在，确定E的位置，并证明，若不存在，说明理由；
（3）求三棱锥
的体积.
中，底面ABCD是菱形，，平面ABCD，，，.（1）求证：直线
平面PNC；（2）在AB上是否存在一点E，使
平面PDE，若存在，确定E的位置，并证明，若不存在，说明理由；（3）求三棱锥
的体积.
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名校
解题方法
7 . 如图，在四棱锥中，平面
平面ABCD，且
，
.四边形ABCD满足
，
，
.E为侧棱PB的中点，F为侧棱PC上的任意一点.
(1)若F为PC的中点，求证:
平面PAD；
(2)求证:平面
平面PAB；
(3)是否存在点F，使得直线AF与平面PCD垂直?若存在，写出证明过程并求出线段PF的长；若不存在，请说明理由.
中，平面平面ABCD，且，.四边形ABCD满足，，.E为侧棱PB的中点，F为侧棱PC上的任意一点.(1)若F为PC的中点，求证:
平面PAD；(2)求证:平面
平面PAB；(3)是否存在点F，使得直线AF与平面PCD垂直?若存在，写出证明过程并求出线段PF的长；若不存在，请说明理由.
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2020-02-21更新
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824次组卷
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2卷引用：北京市101中学2017-2018学年高一下学期期末数学试题
名校
解题方法
8 . 如图，四棱锥的底面是正方形，侧棱
底面
，E是
的中点.
（1）求证：
平面
；
（2）求证：
平面
；
（3）证明：
.
的底面是正方形，侧棱底面，E是的中点.（1）求证：
平面；（2）求证：
平面；（3）证明：
.
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2020-11-03更新
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886次组卷
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2卷引用：北京师范大学附属中学2019-2020学年高一下学期期末数学试题
名校
解题方法
9 . 如图1，已知菱形AECD的对角线AC，DE交于点F，点E为AB的中点．将三角形ADE沿线段DE折起到PDE的位置，如图2所示．
（1）求证：
；
（2）试问平面PFC与平面PBC所成的二面角是否为
，如果是，请证明；如果不是，请说明理由；
（3）在线段PD，BC上是否分别存在点M，N，使得平面
平面PEN？若存在，请指出点M，N的位置，并证明；若不存在，请说明理由．
（1）求证：
；（2）试问平面PFC与平面PBC所成的二面角是否为
，如果是，请证明；如果不是，请说明理由；（3）在线段PD，BC上是否分别存在点M，N，使得平面
平面PEN？若存在，请指出点M，N的位置，并证明；若不存在，请说明理由．
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2020-11-07更新
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787次组卷
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4卷引用：北京市顺义区2019-2020学年高一下学期期末质量监测数学试题
北京市顺义区2019-2020学年高一下学期期末质量监测数学试题北京市汇文中学2020-2021学年高一下学期期末数学试题（已下线）大题专项训练18：立体几何（折叠问题）-2021届高三数学二轮复习广东省广州市十六中2021-2022学年高一下学期期中数学试题
名校
10 . 如图,在三棱柱
中,
平面
为正三角形, 侧面
是边长为
的正方形,为
的中点.
（1）求证
平面
;
（2）求二面角
的余弦值;
（3）试判断直线
与平面的位置关系,并加以证明.
中,平面为正三角形, 侧面是边长为的正方形,为的中点.（1）求证
平面;（2）求二面角
的余弦值;（3）试判断直线
与平面的位置关系,并加以证明.
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2020-01-13更新
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601次组卷
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2卷引用：北京市西城区2019-2020学年高三上学期期末数学试题
