真题
解题方法
1 . 如图，正三棱柱
的所有棱长都为2，D为
中点．
(1)求证：
平面
；
(2)求二面角
的大小．
的所有棱长都为2，D为中点．(1)求证：
平面；(2)求二面角
的大小．
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2022-11-10更新
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1447次组卷
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2卷引用：2007年普通高等学校招生考试数学（文）试题（福建卷）
2 . 如图，直二面角
中，四边形ABCD是边长为2的正方形，
，F为CE上的点，且
平面ACE．
(1)求证
平面BCE；
(2)求二面角
的大小；
(3)求点D到平面ACE的距离．
中，四边形ABCD是边长为2的正方形，，F为CE上的点，且平面ACE．(1)求证
平面BCE；(2)求二面角
的大小；(3)求点D到平面ACE的距离．
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2022-03-29更新
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1163次组卷
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13卷引用：2005年普通高等学校招生考试数学（理）试题（福建卷）
2005年普通高等学校招生考试数学（理）试题（福建卷）2005年普通高等学校招生考试数学（文）试题(福建卷)福建省漳州市龙海市程溪中学2018-2019学年高二（上）期中考试数学（理科）试题（已下线）2012届重庆市八中高三第二次月考文科数学（已下线）专题46 空间向量与立体几何大题解题模板-2021年高考一轮数学单元复习一遍过（新高考地区专用）（已下线）专题46 空间向量与立体几何大题解题模板-2021年高考一轮数学（理）单元复习一遍过（已下线）专题43 立体几何大题解题模板-2021年高考一轮数学（文）单元复习一遍过（已下线）第八单元 立体几何 (A卷 基础过关检测）-2021年高考数学（理）一轮复习单元滚动双测卷天津市南开区南大奥宇培训学校2020届高三下学期第三次月考数学试题（已下线）专题03 立体几何大题解题模板-（新教材）2020-2021学年高二数学单元复习（人教A版选择性必修第一册）（已下线）天津市南开中学2022届高三下学期二模数学试题（已下线）临考押题卷01-2022年高考数学临考押题卷(天津卷)天津市耀华中学2022届高三下学期统练12数学试题
3 . 如图，四棱锥P-ABCD中，PA⊥底面ABCD，AB⊥AD，点E在线段AD上，且CE∥AB．
(1)求证：CE⊥平面PAD；
(2)若PA=AB=1，AD=3，CD=
，∠CDA=45°，求四棱锥P-ABCD的体积．
(1)求证：CE⊥平面PAD；
(2)若PA=AB=1，AD=3，CD=
，∠CDA=45°，求四棱锥P-ABCD的体积．
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2022-01-15更新
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1510次组卷
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22卷引用：2011年普通高等学校招生全国统一考试文科数学（福建卷）
2011年普通高等学校招生全国统一考试文科数学（福建卷）（已下线）2012届福建省泉州市安溪县高三期末质量检测数学试卷2015届福建省清流一中高三上学期第二阶段测试文科数学试卷（已下线）2012届辽宁省本溪一中、庄河高中高三上学期期末文科数学（已下线）2012-2013学年黑龙江哈尔滨第十二中学高二上期末考试文科数学试卷（已下线）2014高考名师推荐数学文科预测题（已下线）2014届陕西省西工大附中高三上学期第三次训练文科数学试卷2015-2016学年吉林省通榆县一中高二上学期第一次月考文科数学试卷山西省运城市康杰中学2017-2018学年高二上学期第一次月考数学（文）试题【全国百强校】西藏拉萨中学2018-2019学年高一上学期期末考试数学试题安徽省“庐巢六校联盟”（金汤白泥乐槐六校）2019-2020学年高二上学期第二次段考数学（文）试题云南省昭通市水富市云天化中学2019-2020学年高二上学期期末数学（文）试题广东省汕头市2018-2019学年高二下学期期中数学（理）试题2020届陕西省汉中市高三下学期第二次模拟检测文科数学试题2020届陕西省汉中市高三教学质量第二次检测数学(文)试题安徽省安庆市怀宁县第二中学2018-2019学年高三上学期第一次月考数学(文)试题（已下线）文科数学-6月大数据精选模拟卷01（新课标Ⅰ卷）（满分冲刺篇）山东省枣庄市第八中学2019-2020学年高一下学期复学检测数学试题（已下线）考点21 直线、平面垂直的判定及其性质-备战2022年高考数学（文）一轮复习考点微专题西藏林芝市第一中学2019届高三上学期期末考试数学（文）试题（已下线）期中复习测试卷1（易）（第六七八章）-【满分计划】2021-2022学年高一数学阶段性复习测试卷（人教A版2019必修第二册）黑龙江省大庆中学2020-2021学年高二上学期开学考试数学试题
4 . 如图，在长方体
中
，
为
中点．
（Ⅰ）求证：
；
（Ⅱ）在棱
上是否存在一点
，使得
//平面
,若存在，求
的长；若不存在，说明理由．
（Ⅲ）若二面角
的大小为
，求
的长.
中，为中点．（Ⅰ）求证：
；（Ⅱ）在棱
上是否存在一点，使得//平面,若存在，求的长；若不存在，说明理由．（Ⅲ）若二面角
的大小为，求的长.
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2019-01-30更新
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1855次组卷
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11卷引用：2012年全国普通高等学校招生统一考试理科数学（福建卷）
2012年全国普通高等学校招生统一考试理科数学（福建卷）（已下线）2014年高考数学（理）二轮专题复习知能提升演练1-5-3练习卷北京市首都师范大学附属密云中学2022-2023学年高二上学期阶段性练习数学试题（已下线）专题24 空间向量与空间角的计算-十年（2011-2020）高考真题数学分项江苏省连云港高级中学2022-2023学年高二下学期第一次学情检测数学试题甘肃省张掖市某重点校2022-2023学年高二下学期4月月考数学试题（已下线）模块二 专题1 《空间向量与立体几何》单元检测篇 B提升卷（苏教 )（已下线）第6章 空间向量与立体几何 单元测试（A卷知识达标）-【学霸满分】2022-2023学年高二数学下学期重难点专题提优训练（苏教版2019选择性必修第二册）四川省宜宾市第四中学校2023-2024学年高二上学期9月月考数学试题（已下线）第六章 空间向量与立体几何（单元重点综合测试）-2023-2024学年高二数学单元速记·巧练（苏教版2019选择性必修第二册）（已下线）第五章 破解立体几何开放探究问题 专题一 立体几何存在性问题 微点1 立体几何存在性问题的解法（一）【基础版】
真题
名校
5 . 如图，平行四边形
中，
，
将
沿
折起到
的位置，使平面
平面
．
（Ⅰ）求证：
；
（Ⅱ）求三棱锥
的侧面积
．
中，，将沿折起到的位置，使平面平面．（Ⅰ）求证：
；（Ⅱ）求三棱锥
的侧面积．
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2019-01-30更新
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978次组卷
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7卷引用：2009年普通高等学校招生全国统一考试文科数学（福建卷）
2009年普通高等学校招生全国统一考试文科数学（福建卷）（已下线）2012届福建省四地六校高三期中联考文科数学试卷（已下线）2011-2012学年度江苏省江阴市一中高二第一学期期中数学试卷（已下线）2013年湖北新洲、红安、麻城一中高三上学期期末联考文科数学试卷吉林省梅河口市第五中学2017-2018学年高一上学期中期考试数学试题2019届湖南省长沙市宁乡一中高三下学期5月仿真考试数学(文)试题（已下线）第三章 折叠、旋转与展开 专题一 平面图形的翻折、旋转 微点3 翻折、旋转中的基本问题（三）
6 . 在平面四边形中，
，
，将
沿折起，使得平面
平面
，如图．
；
（2）若
为
中点，求直线与平面
所成角的正弦值．
中，，，将沿折起，使得平面平面，如图．
；（2）若
为中点，求直线与平面所成角的正弦值．
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2016-12-12更新
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5432次组卷
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24卷引用：2014年全国普通高等学校招生统一考试理科数学（福建卷）
2014年全国普通高等学校招生统一考试理科数学（福建卷）福建省莆田市第二十四中学2017-2018学年高二上学期第二次月考（12月）数学（理）试题【全国百强校】福建省厦门外国语学校2018-2019学年高二下学期第一次月考数学（理）试题2016-2017学年山西怀仁一中高二理上学期月考三数学试卷河北省保定市定兴中学2016-2017学年高二下学期期中考试数学（理）试题2018年秋人教B版数学选修2-1第三章检测江苏省镇江中学2019-2020学年高二上学期第一次月考数学试题2019届百师联盟全国高三冲刺考（四）全国 II 卷理科数学试卷人教A版(2019) 选择性必修第一册 必杀技 第一章 空间向量与立体几何 1.4 空间向量的应用 1.4.2 用空间向量研究距离、夹角问题 课时2 用空间向量研究夹角问题人教B版(2019) 选择性必修第一册 必杀技 第一章 空间向量与立体几何 1.2 空间向量在立体几何中的应用 1.2.3 直线与平面的夹角海南省临高中学2021届高三上学期第一次月考数学试题安徽省阜阳市太和第一中学2020-2021学年高二(奥赛班)上学期10月月考数学(理)试题贵州省毕节市七星关区海子街中学2018-2019学年高二下学期期末考试数学（理）试题江苏省镇江中学2019-2020学年高二上学期10月月考数学试题第一章 空间向量与立体几何单元总结（思维导图+知识记诵+能力培养）-【一堂好课】2021-2022学年高二数学上学期同步精品课堂（人教A版2019选择性必修第一册）江苏省徐州市新沂市棋盘中学2020-2021学年高三上学期第二次阶段性考试数学试题四川省眉山市眉山第一中学2021-2022学年高二上学期11月月考数学理科试题四川省凉山宁南中学2020-2021学年高二下学期第一次月考数学（理）试题（已下线）专题24 盘点立体几何中折叠问题——备战2022年高考数学二轮复习常考点专题突破河南省河南大学附属中学2021-2022学年高二下学期6月月考数学（理）试题山东省德州市陵城区祥龙高级中学2022-2023学年高二上学期9月月考数学试题（已下线）专题24 空间向量与空间角的计算-十年（2011-2020）高考真题数学分项湖北省武汉情智学校2023-2024学年高二上学期10月质量检测数学试题（已下线）专题23 立体几何解答题（理科）-1
7 . 如图，是圆
的直径，点
是圆上异于
的点，
垂直于圆
所在的平面，且
．
为线段
的中点，求证
平面
；
（Ⅱ）求三棱锥
体积的最大值；
（Ⅲ）若
，点在线段
上，求
的最小值．
是圆的直径，点是圆上异于的点，垂直于圆所在的平面，且．
为线段的中点，求证平面；（Ⅱ）求三棱锥
体积的最大值；（Ⅲ）若
，点在线段上，求的最小值．
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2016-12-03更新
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6227次组卷
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32卷引用：2015年全国普通高等学校招生统一考试文科数学（福建卷）
2015年全国普通高等学校招生统一考试文科数学（福建卷）福建省尤溪县第五中学2020-2021学年高二上学期期中考试数学试题2015-2016学年河北石家庄一中高一下期末数学（文）试卷四川省乐山四校2017-2018学年高二第三学期半期联考数学(文科)试题（已下线）2018年高考数学备考中等生百日捷进提升系列（综合提升篇） 专题04 立体几何解答题（理）（已下线）第01章 章末检测-2018-2019版数学创新设计课堂讲义同步系列（苏教版必修2）广东省深圳市高级中学2019届高三适应性考试（6月）数学（文）试题智能测评与辅导[文]-立体几何的综合问题广东省深圳市高级中学2019-2020学年高三上学期10月月考数学（文）试题上海市七宝中学2018-2019学年高二下学期5月月考数学试题广东省华美实验学校2019-2020学年高三下学期4月网上考试数学（文）试题（已下线）考点24 空间几何体体积及表面积（讲解）-2021年高考数学复习一轮复习笔记（已下线）专题46 空间向量与立体几何大题解题模板-2021年高考一轮数学单元复习一遍过（新高考地区专用）（已下线）专题46 空间向量与立体几何大题解题模板-2021年高考一轮数学（理）单元复习一遍过（已下线）专题43 立体几何大题解题模板-2021年高考一轮数学（文）单元复习一遍过（已下线）痛点13 立体几何中的最值、轨迹问题-2021年新高考数学一轮复习考点扫描（已下线）黄金卷02-【赢在高考·黄金20卷】备战2021年高考数学（文）全真模拟卷（新课标Ⅱ卷）（已下线）文科数学-2021年高考数学押题预测卷（新课标Ⅱ卷）02（已下线）专题03 立体几何大题解题模板-（新教材）2020-2021学年高二数学单元复习（人教A版选择性必修第一册）上海市宝山中学2021-2022学年高二上学期期中数学试题（已下线）第12课时 课后 直线与平面垂直的判定（已下线）期末复习测试卷（必修第二册）-【满分计划】2021-2022学年高一数学阶段性复习测试卷（人教A版2019必修第二册）（已下线）上海高二上学期期中【常考60题考点专练】（2）上海市控江中学2022-2023学年高二上学期期中数学试题（已下线）专题8.15 空间中线面的位置关系大题专项训练（30道）-2022-2023学年高一数学举一反三系列（人教A版2019必修第二册）北京名校2023届高三一轮总复习 第8章 立体几何 8.3 空间中垂直关系的判定及其性质山西省阳泉市第一中学校2022-2023学年高一下学期期中数学试题上海市黄浦区向明中学2023-2024学年高二上学期期中数学试题（已下线）第二章 立体几何中的计算 专题七 空间范围与最值问题 微点3 面积、体积的范围与最值问题（一）【基础版】（已下线）第三章 折叠、旋转与展开 专题二 空间图形的展开与最短路径问题 微点2 空间最短路径问题（二）【基础版】（已下线）【一题多变】展开还原 点线重合（已下线）专题23 立体几何解答题（文科）-3
8 . 如图，在几何体
中，四边形是矩形，
平面
，
，
，
，
分别是线段
，
的中点.
(1)求证：
平面
；
(2)求平面
与平面所成锐二面角的余弦值.
中，四边形是矩形，平面，，，，分别是线段，的中点.(1)求证：
平面；(2)求平面
与平面所成锐二面角的余弦值.
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2016-12-03更新
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1719次组卷
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4卷引用：2015年全国普通高等学校招生统一考试理科数学（福建卷）
2015年全国普通高等学校招生统一考试理科数学（福建卷）【全国百强校】河南省信阳高级中学2019届高三上学期期末考试数学（理）试题（已下线）专题06 求空间角妙招迭出，施向量法更添风采（已下线）专题10 盘点求二面角的三种方法-1
9 . 如图，三棱锥
中，平面
.
（1）求证：
平面；
（2）若，为中点，求三棱锥
的体积.
中，平面.（1）求证：
平面；（2）若
，为中点，求三棱锥的体积.
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2016-12-03更新
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4248次组卷
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15卷引用：2014年全国普通高等学校招生统一考试文科数学（福建卷）
2014年全国普通高等学校招生统一考试文科数学（福建卷）【全国校级联考】福建省福州市八县（市）协作校2016-2017学年高一上学期期末联考数学试题2015-2016学年西藏日喀则一中高一4月月考数学试卷2016-2017学年广东清远三中高二文上学期月考三数学试卷人教A版高中数学必修二 2.3.1直线与平面垂直的判定3安徽省亳州市涡阳县萃文中学2020-2021学年高二上学期第一次月考数学试题安徽省蚌埠市第一中学2020-2021学年高三上学期期中文科数学试题安徽省合肥市第十一中学2020-2021学年高二上学期期中数学(文)试题陕西省西安中学2020-2021学年高一上学期期末数学试题宁夏银川三沙源上游学校2020-2021学年高一下学期第一次月考数学（理）试题高中数学解题兵法 第六十五讲 等积法江西省南昌市湾里管理局第一中学等六校2021-2022学年高二下学期期中联考数学（文）试题四川省宜宾市叙州区第二中学校2022-2023学年高二上学期期中考试数学（文）试题西藏拉萨中学2022届高三第五次月考数学（文）试题（已下线）专题23 立体几何解答题（文科）-1
10 . 如图，在长方体中，
，
，为棱
上的一点．
（1）求三棱锥
的体积；
（2）当
取得最小值时，求证
平面
中，，，为棱上的一点．（1）求三棱锥
的体积；（2）当
取得最小值时，求证平面
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2016-12-01更新
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1262次组卷
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5卷引用：2012年全国普通高等学校招生统一考试文科数学（福建卷）
2012年全国普通高等学校招生统一考试文科数学（福建卷）福建省莆田市仙游第一中学2017-2018学年高一上学期第二次（12月）月考数学试题（已下线）2018年高三二轮复习测试专项 【苏教版数学】专题七 立体几何（已下线）第三章 折叠、旋转与展开 专题二 空间图形的展开与最短路径问题 微点2 空间最短路径问题（二）【基础版】（已下线）第四章 立体几何解题通法 专题一 降维法 微点2 降维法（二）【基础版】
