计数原理与概率统计练习题及答案-高中数学高三-特供-组卷网

解答题-应用题 | 较易(0.85) |

解题方法

最小二乘法求回归直线方程

1 . 天气寒冷，加热手套比较畅销，某商家为了解某种加热手套如何定价可以获得最大利润，现对这种加热手套进行试销售，统计后得到其单价x(单位;元)与销量y(单位:副)的相关数据如下表：

单价x（元）	80	85	90	95	100
销量y（副）	140	130	110	90	80

（1）已知销量y与单价x具有线性相关关系，求y关于x的线性回归方程;
（2）若每副该加热手套的成本为65元，试销售结束后，请利用（1）中所求的线性回归方程确定单价为多少元时，销售利润最大?(结果保留到整数)
附:对于一组数据(x₁，y₁)，(x₂，y₂)，…，(x_n，y_n)，其回归直线

的斜率和截距的最小二乘估计分别为

参考数据:

2021-02-04更新 | 1299次组卷 | 7卷引用：安徽省滁州市2020-2021学年高三上学期第一次教学质量监测文科数学试题

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2012·福建·高考真题

解答题-应用题 | 容易(0.94) |

用回归直线方程对总体进行估计求回归直线方程

真题名校

2 . 某工厂为了对新研发的一种产品进行合理定价，将该产品按事先拟定的价格进行试销，得到如下数据：

单价x（元）	8	8.2	8.4	8.6	8.8	9
销量y（件）	90	84	83	80	75	68

（1）求回归直线方程

=bx+a，其中b=-20，a=

-b

；
（2）预计在今后的销售中，销量与单价仍然服从（1）中的关系，且该产品的成本是4元/件，为使工厂获得最大利润，该产品的单价应定为多少元？（利润=销售收入-成本）

2019-01-30更新 | 3437次组卷 | 34卷引用：2012年全国普通高等学校招生统一考试文科数学（福建卷）

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15-16高三下·河北石家庄·阶段练习

解答题-应用题 | 适中(0.65) |

用回归直线方程对总体进行估计求回归直线方程

名校

解题方法

最小二乘法求回归直线方程

3 . 为了解某地区某种产品的年产量

（单位：吨）对价格

（单位：千元/吨）和利润

的影响，对近五年该农产品的年产量和价格统计如下表：

（1）求

关于

的线性回归方程

；
（2）若每吨该农产品的成本为

千元，假设该农产品可全部卖出，预测当年产量为多少时，年利润

取到最大值？（保留两位小数）
参考公式：

，

.

2020-08-17更新 | 535次组卷 | 25卷引用：2016届河北省石家庄市届高三下学期质量检测二理科数学试卷

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2019·山东济南·一模

解答题-应用题 | 适中(0.65) |

非线性回归相关系数的计算

名校

4 . 某企业新研发了一种产品，产品的成本由原料成本及非原料成本组成.每件产品的非原料成本

（元）与生产该产品的数量

（千件）有关，经统计得到如下数据：

x	1	2	3	4	5	6	7	8
y	112	61	44.5	35	30.5	28	25	24

根据以上数据，绘制了散点图.

观察散点图，两个变量不具有线性相关关系，现考虑用反比例函数模型

和指数函数模型

分别对两个变量的关系进行拟合.已求得用指数函数模型拟合的回归方程为

，

与

的相关系数

.参考数据（其中

）：


183.4	0.34	0.115	1.53	360	22385.5	61.4	0.135

（1）用反比例函数模型求

关于

的回归方程；
（2）用相关系数判断上述两个模型哪一个拟合效果更好（精确到0.01），并用其估计产量为10千件时每件产品的非原料成本；
（3）该企业采取订单生产模式（根据订单数量进行生产，即产品全部售出）.根据市场调研数据，若该产品单价定为100元，则签订9千件订单的概率为0.8，签订10千件订单的概率为0.2；若单价定为90元，则签订10千件订单的概率为0.3，签订11千件订单的概率为0.7.已知每件产品的原料成本为10元，根据（2）的结果，企业要想获得更高利润，产品单价应选择100元还是90元，请说明理由.
参考公式：对于一组数据

，

，…，

，其回归直线

的斜率和截距的最小二乘估计分别为：

，

，相关系数

.

2019-06-25更新 | 2166次组卷 | 9卷引用：【市级联考】山东省济南市2019届高三5月学习质量针对性检测理科数学试题

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2019·湖北·三模

解答题-应用题 | 较易(0.85) |

利用对立事件的概率公式求概率独立事件的乘法公式离散型随机变量的均值方差的性质

名校

5 . 10月1日，某品牌的两款最新手机（记为

型号，

型号）同时投放市场，手机厂商为了解这两款手机的销售情况，在10月1日当天，随机调查了5个手机店中这两款手机的销量（单位：部），得到下表：

手机店
型号手机销量	6	6	13	8	11
型号手机销量	12	9	13	6	4

（Ⅰ）若在10月1日当天，从

，

这两个手机店售出的新款手机中各随机抽取1部，求抽取的2部手机中至少有一部为

型号手机的概率；

（Ⅱ）现从这5个手机店中任选3个举行促销活动，用

表示其中

型号手机销量超过

型号手机销量的手机店的个数，求随机变量

的分布列和数学期望；
（III）经测算，

型号手机的销售成本

（百元）与销量（部）满足关系

.若表中

型号手机销量的方差

，试给出表中5个手机店的

型号手机销售成本的方差

的值.（用

表示，结论不要求证明）

2019-06-12更新 | 1910次组卷 | 7卷引用：【全国百强校】湖北省黄冈中学2019届高三第三次模拟考试数学（理）试题

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16-17高三·湖北·开学考试

单选题 | 较易(0.85) |

频率分布直方图的实际应用计算古典概型问题的概率

6 . 某商场对某一商品搞活动，已知该商品每一个的进价为3元，销售价为8元，每天售出的第20个及之后的半价出售.该商场统计了近10天这种商品的销量，如图所示，设x(个)为每天商品的销量，y(元)为该商场每天销售这种商品的利润.从日利润不少于96元的几天里任选2天，则选出的这2天日利润都是97元的概率是(　　)

A．

B．

C．

D．

2019-07-26更新 | 706次组卷 | 7卷引用：湖北省部分重点中学2018届高三起点考试数学（文）试题

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21-22高二上·江西上饶·期末

解答题-应用题 | 适中(0.65) |

非线性回归相关系数的计算 3δ原则

名校

解题方法

最小二乘法求回归直线方程

7 . 某企业新研发了一种产品，产品的成本由原料成本及非原料成本组成.每件产品的非原料成本

（元）与生产该产品的数量

（千件）有关，经统计得到如下数据：

x	1	2	3	4	5	6	7	8
y	56.5	31	22.75	17.8	15.95	14.5	13	12.5

根据以上数据绘制了散点图观察散点图，两个变量间关系考虑用反比例函数模型

和指数函数模型

分别对两个变量的关系进行拟合.已求得用指数函数模型拟合的回归方程为

，

与x的相关系数

.

(1)用反比例函数模型求y关于x的回归方程；
(2)用相关系数判断上述两个模型哪一个拟合效果更好（精确到0.001），并用其估计产量为10千件时每件产品的非原料成本；
(3)根据企业长期研究表明，非原料成本y服从正态分布

，用样本平均数

作为

的估计值

，用样本标准差s作为

的估计值

，若非原料成本y在

之外，说明该成本异常，并称落在

之外的成本为异样成本，此时需寻找出现异样成本的原因.利用估计值判断上述非原料成本数据是否需要寻找出现异样成本的原因？
参考数据（其中

）：


0.34	0.115	1.53	184	5777.555	93.06	30.705	13.9

参考公式：对于一组数据

，其回归直线

的斜率和截距的最小二乘估计公式分别为：

，

，相关系数

.

2022-01-17更新 | 2730次组卷 | 12卷引用：湖北省十一校2023届高三下学期第二次联考数学试题

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2022·广西柳州·三模

解答题-应用题 | 较易(0.85) |

非线性回归相关系数的计算根据回归方程进行数据估计

解题方法

最小二乘法求回归直线方程

8 . 某公司拟对某种材料进行应用改造，产品的成本由原料成本及非原料成本组成，每件产品的非原料成本

（元）与生产该产品的数量

（千件）有关，经统计得到如下数据：

	1	2	3	4	5	6	7	8
	112	61	44.5	35	30.5	28	25	24

对历史数据对比分析，考虑用函数模型①

，②

分别对两个变量的关系进行拟合，令模型①中

上，模型②中

，对数据作了初步处理，已计算得到如下数据：


0.34	45	0.115	22385.5	1.53	183.4	61.4	0.135

(1)设

和

的样本相关系数为

，

和

的样本相关系数为

，已经计算得出

，请从样本相关系数（精确到0.01）的角度判断，哪个模型拟合效果更好？
(2)根据（1）的选择及表中数据，建立

关于

的非线性回归方程，并用其估计当每件产品的非原料成本为21元时，产量约为多少千件？
参考公式：对于一组数据

，

，…，

其回归直线

的斜率和截距的最小二乘估计分别为：

，

，相关系数

.

2022-03-31更新 | 843次组卷 | 3卷引用：广西柳州市2022届高三第三次模拟考试数学（文）试题

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21-22高三上·广东·阶段练习

解答题-应用题 | 适中(0.65) |

建立二项分布模型解决实际问题求离散型随机变量的均值均值的性质均值的实际应用

名校

解题方法

利用均值和方差的性质求解新的均值和方差利用二项分布期望方差公式求解期望和方差

9 . 新疆棉以绒长､品质好､产量高著称于世.现有两类以新疆长绒棉为主要原材料的均码服装，A类服装为纯棉服饰，成本价为120元/件，总量中有30%将按照原价200元/件的价格销售给非会员顾客，有50%将按照8.5折的价格销售给会员顾客.B类服装为全棉服饰，成本价为160元/件，总量中有20%将按照原价300元/件的价格销售给非会员顾客，有40%将按照8.5折的价格销售给会员顾客.这两类服装剩余部分将会在换季促销时按照原价6折的价格销售给顾客，并能全部售完.
(1)通过计算比较这两类服装单件收益的期望（收益=售价

成本）；
(2)某服装专卖店店庆当天，全场A，B两类服装均以会员价销售.假设每位来店购买A，B两类服装的顾客只选其中一类购买，每位顾客限购1件，且购买了服装的顾客中购买A类服装的概率为

.已知该店店庆当天这两类服装共售出5件，设X为该店当天所售服装中B类服装的件数，Y为当天销售这两类服装带来的总收益.求当

时，n可取的最大值及Y的期望E（Y）.

2021-11-26更新 | 1610次组卷 | 14卷引用：广东省部分学校2022届高三上学期11月大联考数学试题

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22-23高三上·广东深圳·期中

解答题-应用题 | 较难(0.4) |

根据散点图判断是否线性相关求回归直线方程非线性回归求离散型随机变量的均值

名校

解题方法

最小二乘法求回归直线方程利用均值和方差解决风险评估和决策型问题

10 . 红蜘蛛是柚子的主要害虫之一，能对柚子树造成严重伤害，每只红蜘蛛的平均产卵数y（个）和平均温度x（℃）有关，现收集了以往某地的7组数据，得到下面的散点图及一些统计量的值.

(1)根据散点图判断，

与

（其中

…为自然对数的底数）哪一个更适合作为平均产卵数y（个）关于平均温度x（℃）的回归方程类型？（给出判断即可，不必说明理由）
(2)由（1）的判断结果及表中数据，求出y关于x的回归方程.（计算结果精确到0.1）
附：回归方程中

，

参考数据（）

5215	17713	714	27	81.3	3.6

(3)根据以往每年平均气温以及对果园年产值的统计，得到以下数据：平均气温在22℃以下的年数占60%，对柚子产量影响不大，不需要采取防虫措施；平均气温在22℃至28℃的年数占30%，柚子产量会下降20%；平均气温在28℃以上的年数占10%，柚子产量会下降50%.为了更好的防治红蜘蛛虫害，农科所研发出各种防害措施供果农选择.
在每年价格不变，无虫害的情况下，某果园年产值为200万元，根据以上数据，以得到最高收益（收益＝产值－防害费用）为目标，请为果农从以下几个方案中推荐最佳防害方案，并说明理由.
方案1：选择防害措施A，可以防止各种气温的红蜘蛛虫害不减产，费用是18万；
方案2：选择防害措施B，可以防治22℃至28℃的蜘蛛虫害，但无法防治28℃以上的红蜘蛛虫害，费用是10万；
方案3：不采取防虫害措施.

2023-09-22更新 | 3154次组卷 | 21卷引用：广东省深圳市实验中学、深圳市高级中学、珠海市第一中学、北江中学、湛江市第一中学等五校2023届高三上学期11月期中联考数学试题

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