解题方法
1 . 电网公司将调整电价，为此从某社区随机抽取100户用户进行月用电量调查，发现他们的月用电量都在
之间，进行适当分组后（每组为左闭右开区间），画出如图所示的频率分布直方图．调价方案为：月用电量在
以下（占总数的71%）的用户电价不变，月用电量在以上则电价将上浮10%．
(1)求
和
的值；
(2)若采用按比例分配的分层随机抽样的方法，从月用电量不低于
的用户中抽9户用户，再从这9户用户中随机抽取3户，记月用电量在区间
内的户数为
，试求的分布列和数学期望．
之间，进行适当分组后（每组为左闭右开区间），画出如图所示的频率分布直方图．调价方案为：月用电量在以下（占总数的71%）的用户电价不变，月用电量在以上则电价将上浮10%． (1)求
和的值；(2)若采用按比例分配的分层随机抽样的方法，从月用电量不低于
的用户中抽9户用户，再从这9户用户中随机抽取3户，记月用电量在区间内的户数为，试求的分布列和数学期望．
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解题方法
2 . 某校数学建模学生社团进行了一项实验研究，采集了
的一组数据如下表所示：
该社团对上述数据进行了分析，发现
与
之间具有线性相关关系．
附：在线性回归方程
中，
，其中
为样本平均值．
(1)画出表中数据的散点图，并指出与之间的相关系数
是正还是负；
(2)求出关于的线性回归方程，并写出当
时，预测数据的值．
的一组数据如下表所示：
| 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 |
| 52.5 | 45 | 40 | 30 | 25 | 17.5 |
与之间具有线性相关关系．附：在线性回归方程
中，，其中为样本平均值．(1)画出表中数据的散点图，并指出
与之间的相关系数是正还是负；(2)求出
关于的线性回归方程，并写出当时，预测数据的值．
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解题方法
3 . 为了研究某种细菌随天数变化的繁殖个数，收集数据如下：
(1)在图中作出繁殖个数关于天数变化的散点图，并由散点图判断
（
为常数）与
（
为常数，且
）哪一个适宜作为繁殖个数关于天数变化的回归方程类型？（给出判断即可，不必说明理由）
(2)对于非线性回归方程（为常数，且），令
，可以得到繁殖个数的对数z关于天数x具有线性关系及一些统计量的值．
（ⅰ）证明：“对于非线性 回归方程，令，可以得到繁殖个数的对数
关于天数具有线性 关系（即
为常数）”；
（ⅱ）根据（ⅰ）的判断结果及表中数据，建立关于的回归方程（系数保留2位小数）．
附：对于一组数据
，其回归直线方程
的斜率和截距的最小二乘估计分别为
．
变化的繁殖个数，收集数据如下：| 天数 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 |
| 繁殖个数 | 6 | 12 | 25 | 49 | 95 | 190 |
(1)在图中作出繁殖个数
关于天数变化的散点图，并由散点图判断（为常数）与（为常数，且）哪一个适宜作为繁殖个数关于天数变化的回归方程类型？（给出判断即可，不必说明理由）(2)对于非线性回归方程
（为常数，且），令，可以得到繁殖个数的对数z关于天数x具有线性关系及一些统计量的值． |  |  |  |  |  |
| 3.50 | 62.83 | 3.53 | 17.50 | 596.57 | 12.09 |
，令，可以得到繁殖个数的对数关于天数具有为常数）”；（ⅱ）根据（ⅰ）的判断结果及表中数据，建立
关于的回归方程（系数保留2位小数）．附：对于一组数据
，其回归直线方程的斜率和截距的最小二乘估计分别为．
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4 . 部分高校开展基础学科招生改革试点工作（强基计划）的校考由试点高校自主命题，校考过程中达到笔试优秀才能进入面试环节.已知
两所大学的笔试环节都设有三门考试科目且每门科目是否达到优秀相互独立.若某考生报考
大学，每门科目达到优秀的概率均为
，若该考生报考
大学，每门科目达到优秀的概率依次为
，，
，其中
.
(1)若
，分别求出该考生报考两所大学在笔试环节恰好有一门科目达到优秀的概率；
(2)强基计划规定每名考生只能报考一所试点高校，若以笔试过程中达到优秀科目个数的期望为依据作出决策，该考生更有希望进入大学的面试环节，求的范围.
两所大学的笔试环节都设有三门考试科目且每门科目是否达到优秀相互独立.若某考生报考大学，每门科目达到优秀的概率均为，若该考生报考大学，每门科目达到优秀的概率依次为，，，其中.(1)若
，分别求出该考生报考两所大学在笔试环节恰好有一门科目达到优秀的概率；(2)强基计划规定每名考生只能报考一所试点高校，若以笔试过程中达到优秀科目个数的期望为依据作出决策，该考生更有希望进入
大学的面试环节，求的范围.
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2023-09-06更新
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1002次组卷
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6卷引用：江西省景德镇市2023届高三第三次质量检测理科数学试题
江西省景德镇市2023届高三第三次质量检测理科数学试题广东省阳江市2024届高三上学期第一次阶段调研数学试题（已下线）考点巩固卷26分布列及三大分布(十一大考点)-2（已下线）第06讲 事件的相互独立性、条件概率与全概率公式（七大题型）（讲义）湖南省常德市临澧县第一中学2024届高三上学期第五次阶段性考试数学试题（已下线）第09讲 第七章随机变量及其分布章末题型大总结-【帮课堂】2023-2024学年高二数学同步学与练（人教A版2019选择性必修第三册）
5 . 2021年5月11日，第七次全国人口普查结果显示，中国65岁及以上人口为19064万人，占总人口的
．随着出生率和死亡率的下降，我国人口老龄化趋势日益加剧，与老年群体相关的疾病负担问题越来越受到社会关注，虚弱作为疾病前期的亚健康状态，多发于65岁以上人群.虚弱指数量表（frailty in—dex，FI，取值范围是
）可以用来判定老年人是否虚弱，若FI
分，则定义为“虚弱”.某研究团队随机调查了某地1170名男性与1300名女性65岁及以上老年人的身体状况，并采用虚弱指数量表分析后得出虚弱指数频数分布表如下：
(1)根据所调查的65岁及以上老年人的虚弱指数频数分布表作出65岁及以上老年人虚弱与性别的
列联表，并分析能否在犯错误的概率不超过0.01的前提下认为老年人身体虚弱与性别有关？
(2)以频率估计概率，现从该地区随机调查两位男性65岁以上老年人，这两位老人中身体虚弱的人数为随机变量
，求随机变量的分布列、期望与方差？附表及公式：
，
．
．随着出生率和死亡率的下降，我国人口老龄化趋势日益加剧，与老年群体相关的疾病负担问题越来越受到社会关注，虚弱作为疾病前期的亚健康状态，多发于65岁以上人群.虚弱指数量表（frailty in—dex，FI，取值范围是）可以用来判定老年人是否虚弱，若FI分，则定义为“虚弱”.某研究团队随机调查了某地1170名男性与1300名女性65岁及以上老年人的身体状况，并采用虚弱指数量表分析后得出虚弱指数频数分布表如下：FI | | | | |
男 | 411 | 579 | 101 | 79 |
女 | 417 | 463 | 162 | 258 |
列联表，并分析能否在犯错误的概率不超过0.01的前提下认为老年人身体虚弱与性别有关？非虚弱 | 虚弱 | 总计 | |
男 | 1170 | ||
女 | 1300 | ||
总计 |
，求随机变量的分布列、期望与方差？附表及公式：，． | 0.15 | 0.10 | 0.05 | 0.025 | 0.010 | 0.005 | 0.001 |
 | 2.072 | 2.706 | 3.841 | 5.024 | 6.635 | 7.879 | 10.828 |
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名校
解题方法
6 . 民族要复兴，乡村要振兴，合作社助力乡村产业振兴，农民专业合作社已成为新型农业经营主体和现代农业建设的中坚力量，为实施乡村振兴战略作出了巨大的贡献．已知某主要从事手工编织品的农民专业合作社共有100名编织工人，该农民专业合作社为了鼓励工人，决定对“编织巧手”进行奖励，为研究“编织巧手”是否与年龄有关，现从所有编织工人中抽取40周岁以上（含40周岁）的工人24名，40周岁以下的工人16名，得到的数据如表所示．
(1)请完成答题卡上的列联表，并判断能否有
的把握认为是否是“编织巧手”与年龄有关；
(2)为进一步提高编织效率，培养更多的“编织巧手”，该农民专业合作社决定从上表中的非“编织巧手”的工人中采用分层抽样的方法抽取6人参加技能培训，再从这6人中随机抽取2人分享心得，求这2人中恰有1人的年龄在40周岁以下的概率．
参考公式：
，其中．
参考数据：
“编织巧手” | 非“编织巧手” | 总计 | |
年龄 | 19 | ||
年龄 | 10 | ||
总计 | 40 |
40岁
40岁列联表，并判断能否有的把握认为是否是“编织巧手”与年龄有关；(2)为进一步提高编织效率，培养更多的“编织巧手”，该农民专业合作社决定从上表中的非“编织巧手”的工人中采用分层抽样的方法抽取6人参加技能培训，再从这6人中随机抽取2人分享心得，求这2人中恰有1人的年龄在40周岁以下的概率．
参考公式：
，其中．参考数据：
| 0.10 | 0.05 | 0.010 | 0.001 |
| 2.706 | 3.841 | 6.635 | 10.828 |
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2023-05-20更新
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501次组卷
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14卷引用：湖南省部分学校2023届高三下学期5月联数学试题
湖南省部分学校2023届高三下学期5月联数学试题河南省驻马店市2023届高三二模理科数学试题四川省南江中学2023届高三下学期五月适应性考试（一）理科数学试题四川省南江中学2023届高三下学期五月适应性考试（一）文科数学试题贵州省2023届高三多校联考数学（文）试题河南省创新发展联盟2023届高三仿真模拟预测理科数学试题河南省驻马店市2023届高三第二次联考文科数学试题河南省创新发展联盟2023届高三高考仿真模拟预测文科数学试题四川省绵阳市三台中学校2024届高三下学期第一次仿真测试理科数学试题吉林省长春市十一高中2022-2023学年高二下学期第二学程考试数学试题云南省保山市文山州2022-2023学年高二下学期期末考试数学试题福建省厦门第一中学2022-2023学年高二下学期6月月考数学试题（已下线）高二下学期期末押题卷02-【同步题型讲义】2022-2023学年高二数学同步教学题型讲义（人教A版2019选择性必修）辽宁省大连市第八中学2022-2023学年高二下学期6月月考数学试题
22-23高二下·山东德州·期中
名校
解题方法
7 . 在扶贫政策的大力支持下，某县农副产品加工厂经营得十分红火，不仅解决了就业问题，而且为脱贫工作作出了重大贡献，该工厂收集了1月份至5月份的销售量数据（如下表），并利用这些数据对后期生产规模做出决策．
该工厂为了预测未来几个月的销售量，建立了y关于x的回归模型：
．表中：
，
．
(1)根据所给数据与回归模型，求关于的回归方程（
的值精确到0.1，
的值精确到整数位）；
(2)已知该工厂的月利润（单位：万元）与，的关系为
，根据（1）的结果，预测该工厂哪一个月的月利润最小．
参考公式：对于一组数据
，
，…，
，其回归直线
的斜率和截距的最小二乘估计公式分别为：
，
．
| 月份 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | ||
| 销售量（万斤） | 4.9 | 5.8 | 6.8 | 8.3 | 10.2 | ||
|
|
|
|
| |||
3 | 7.2 | 11 | 81.1 | 374 | |||
该工厂为了预测未来几个月的销售量，建立了y关于x的回归模型：
．表中：，．(1)根据所给数据与回归模型，求
关于的回归方程（的值精确到0.1，的值精确到整数位）；(2)已知该工厂的月利润
（单位：万元）与，的关系为，根据（1）的结果，预测该工厂哪一个月的月利润最小．参考公式：对于一组数据
，，…，，其回归直线的斜率和截距的最小二乘估计公式分别为：，．
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2023-05-20更新
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395次组卷
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7卷引用：考点18 决策的选择问题 2024届高考数学考点总动员【练】
（已下线）考点18 决策的选择问题 2024届高考数学考点总动员【练】山东省德州市2022-2023学年高二下学期期中数学试题山东省新泰市第一中学东校2022-2023学年高二下学期第二次质量检测数学试题山东省德州市乐陵市乐陵民生教育高级中学2022-2023学年高二下学期5月月考数学试题（已下线）第04讲 拓展一：数学建模 建立统计模型进行预测（非线性回归模型）-【帮课堂】2023-2024学年高二数学同步学与练（人教A版2019选择性必修第三册）（已下线）模块三 专题1 大题分类练（线性回归）（北师大高二）（已下线）第八章：成对数据的统计分析章末重点题型复习（10题型）-2023-2024学年高二数学题型分类归纳讲与练（人教A版2019选择性必修第三册）
解题方法
8 . 强基计划主要选拔培养有志于服务国家重大战略需求且综合素质或基础学科拔尖的学生，聚焦高端芯片与软件、智能科技、新材料、先进制造和国家安全等关键领域，由有关高校结合自身办学特色，合理安排招生．强基计划的校考由试点高校自主命题，校考过程中通过笔试才能进入面试环节．
(1)某研究机构为了更好地服务于高三学生，随机抽取了某校5名高三学生，对其记忆力测试指标和分析判断力测试指标进行统计分析，得到下表数据：
请用线性相关系数判断该组数据中与之间的关系是否可用线性回归模型进行拟合；（精确到
）
(2)现有甲、乙两所高校的笔试环节都设有三门考试科目，某考生参加每门科目考试是否通过相互独立．若该考生报考甲高校，每门笔试科目通过的概率均为
；该考生报考乙高校，每门笔试科目通过的概率依次为
，其中
．若该考生只能报考甲、乙两所高校中的一所，以笔试中通过的科目数的数学期望为依据作出决策，得知该考生更有希望通过乙大学的笔试，求的取值范围．
参考数据：
，
，
；
参考公式：线性相关系数：
．一般地，
时，认为两个变量之间存在较强的线性相关关系．
(1)某研究机构为了更好地服务于高三学生，随机抽取了某校5名高三学生，对其记忆力测试指标
和分析判断力测试指标进行统计分析，得到下表数据：
| 7 | 9 | 10 | 11 | 13 |
| 3 | 4 | 5 | 6 | 7 |
与之间的关系是否可用线性回归模型进行拟合；（精确到）(2)现有甲、乙两所高校的笔试环节都设有三门考试科目，某考生参加每门科目考试是否通过相互独立．若该考生报考甲高校，每门笔试科目通过的概率均为
；该考生报考乙高校，每门笔试科目通过的概率依次为，其中．若该考生只能报考甲、乙两所高校中的一所，以笔试中通过的科目数的数学期望为依据作出决策，得知该考生更有希望通过乙大学的笔试，求的取值范围．参考数据：
，，；参考公式：线性相关系数：
．一般地，时，认为两个变量之间存在较强的线性相关关系．
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2023-05-07更新
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760次组卷
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5卷引用：安徽省马鞍山市2023届高三三模数学试题
安徽省马鞍山市2023届高三三模数学试题（已下线）第十章 重难专攻(十三) 概率与统计的综合问题（讲）（已下线）考点18 决策的选择问题 2024届高考数学考点总动员（已下线）第05讲 第八章 成对数据的统计分析 章末重点题型大总结-【帮课堂】2023-2024学年高二数学同步学与练（人教A版2019选择性必修第三册）（已下线）专题8.6 成对数据的统计分析全章八大压轴题型归纳（拔尖篇）-2023-2024学年高二数学举一反三系列（人教A版2019选择性必修第三册）
名校
9 . 甲、乙两地到某高校实施“优才计划”，即通过笔试，面试，模拟技能这3项考核程序后直接签约一批优秀毕业生，已知3项程序分别由3个考核组独立依次考核，当3项考核程序均通过后即可签约．2022年，该校数学系100名毕业生参加甲地“优才计划”的具体情况如下表（不存在通过3项程序考核放弃签约的情况）：
今年，该校数学系毕业生小明准备参加两地的“优才计划”，假定他参加各程序的结果相互不影响，且他的辅导员作出较客观的估计：小明通过甲地的每项程序的概率均为
，通过乙地的各项程序的概率依次为
，，．
(1)依据小概率值
的独立性检验，判断这100名毕业生去年参加甲地“优才计划”能否签约与性别是否有关联？
(2)若小明通过甲、乙两地的程序的项数分别记为X，Y，分别求出X与Y的数学期望．
参考公式与临界值表：
，．
| 人数 性别 | 参加考核但未能签约的人数 | 参加考核并能签约的人数 |
| 男生 | 35 | 15 |
| 女生 | 40 | 10 |
，通过乙地的各项程序的概率依次为，，．(1)依据小概率值
的独立性检验，判断这100名毕业生去年参加甲地“优才计划”能否签约与性别是否有关联？(2)若小明通过甲、乙两地的程序的项数分别记为X，Y，分别求出X与Y的数学期望．
参考公式与临界值表：
，． | 0.10 | 0.05 | 0.010 |
 | 2.706 | 3.841 | 6.635 |
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2023-05-03更新
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561次组卷
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5卷引用：海南省海口市海南中学2023届高三二模数学试题
海南省海口市海南中学2023届高三二模数学试题湖南省五市十校教研教改共同体2022-2023年高二下学期期中联考数学试题（已下线）第9章：统计 重点题型复习-【题型分类归纳】2022-2023学年高二数学同步讲与练(苏教版2019选择性必修第二册)（已下线）高二下学期期末押题卷（集合和逻辑用语，不等式，函数导数，数列，统计案例和随机变量及其分布列）（已下线）模块三 专题2 大题分类练（独立性检验）（北师大高二）
22-23高二下·河南开封·期中
名校
解题方法
10 . 盲盒，是指消费者不能提前得知具体产品款式的玩具盒子，具有随机属性，只有打开才会知道自己抽到了什么.但有些经营者用盲盒清库存，损害消费者合法权益，扰乱市场.2022年7月26日，《上海市消费者权益保护条例》对盲盒等随机销售经营行为作出规范，明确经营者采取随机抽取的方式向消费者销售特定范围内商品或者提供服务的，应当按照规定以显著方式公示抽取规则、商品或者服务分布、提供数量、抽取概率等关键信息.现有一款盲盒套装，有5个不同的盲盒，其中有男孩卡通人物2个，女孩卡通人物3个，现从盲盒套装中随机取2个不同的盲盒.
(1)求取出的2个盲盒中，至少有1个男孩卡通人物的概率；
(2)在取出的2个盲盒中，女孩卡通人物的个数设为X，求随机变量X的分布列和数学期望.
(1)求取出的2个盲盒中，至少有1个男孩卡通人物的概率；
(2)在取出的2个盲盒中，女孩卡通人物的个数设为X，求随机变量X的分布列和数学期望.
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2023-05-02更新
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391次组卷
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5卷引用：湖南省新高考教学教研联盟2023届高三下学期4月第二次联考数学试题变式题17-22
（已下线）湖南省新高考教学教研联盟2023届高三下学期4月第二次联考数学试题变式题17-22河南省开封市五县2022-2023学年高二下学期期中考试数学试卷河南省洛阳强基联盟2022-2023学年高二下学期5月联考数学试题甘肃省武威市天祝藏族自治县第一中学2022-2023学年高二下学期第二次月考数学试题黑龙江省齐齐哈尔市克东县克东一中、克东职教中心2022-2023学年高二下学期期中数学试题
