1 . 设且，n为正整数，集合．有以下两个命题：①对任意a，存在n，使得集合S中至少有2个元素；②若存在两个n，使得S中只有1个元素，则，那么（       ）

A．①是真命题，②是假命题	B．①是假命题，②是真命题
C．①、②都是假命题	D．①、②都是真命题

2 . 设集合为非空数集，定义.
(1)若集合,直接写出集合及；
(2)若集合且，求证；
(3)若集合且，求中元素个数的最大值.

3 . 已知集合，对于的一个子集，若存在不大于的正整数，使得对中的任意一对元素，都有，则称具有性质．
(1)当时，试判断集合和是否具有性质？并说明理由；
(2)当时，若集合具有性质，
①判断集合是否一定具有性质？并说明理由；
②求集合中元素个数的最大值．

4 . 已知集合，x、，其中．定义，若，则称x与y正交．
(1)若，写出中与x正交的所有元素；
(2)令，若，证明：为偶数；
(3)若，且A中任意两个元素均正交，分别求出，14时，A中最多可以有多少个元素．

6 . 设数集满足：①任意，有；②任意x，，有或，则称数集具有性质.
(1)判断数集和是否具有性质，并说明理由；
(2)若数集且具有性质.
（i）当时，求证：，，…，是等差数列；
（ii）当，，…，不是等差数列时，求的最大值.

7 . 设集合S，T都至少含有两个元素，且S，T同时满足：条件1：对任意，若，则；条件2：对任意，若，则．给出下列说法：
①若S只有2个元素，则这2个元素互为相反数；
②若S只有2个元素，则必有3个元素；
③若S只有2个元素，则可能有4个元素；
④存在含有3个元素的集合S，满足有4个元素．
其中所有正确说法的序号是______________．

8 . 设集合中至少有两个元素，且S，T满足：
①对于任意，若，都有；
②对于任意，若，则．
(1)分别对和，求出对应的；
(2)如果当S中恰有三个元素时，中恰有4个元素，证明：S中最小的元素是1；
(3)如果S恰有4个元素，求的元素个数．

9 . 对正整数，记，.
(1)用列举法表示集合；
(2)求集合中元素的个数；
(3)若集合A中任意两个元素之和都不是整数的平方，则称A为“稀疏集”.已知集合能分成两个不相交的稀疏集的并集，求的最大值.

10 . 对于正整数集合，如果去掉其中任意一个元素之后，剩余的所有元素组成的集合都能分为两个交集为空集的集合，且这两个集合的所有元素之和相等，就称集合为“可分集”，则下列说法正确的是（       ）

A．不是“可分集”

B．集合中元素个数最少为7个

C．若集合是“可分集”，则集合中元素全为奇数

D．若集合是“可分集”，则集合中元素个数为奇数