4 . 已知数列的各项均为正整数，设集合，，记的元素个数为.
(1)若数列A:1，3，5，7，求集合，并写出的值;
(2)若是递减数列，求证:“”的充要条件是“为等差数列”;
(3)已知数列，求证:.

5 . 定义：若任意 (m，n可以相等但) ， 则集合 称为集合A的生成集；
(1)若集合，的生成集为，的子集个数为4个，求实数的值；
(2)若集合，的生成集为，求证：

7 . 已知是非空数集，如果对任意，都有，则称是封闭集.
(1)判断集合是否为封闭集，并说明理由；
(2)判断以下两个命题的真假，并说明理由；
命题：若非空集合是封闭集，则也是封闭集；
命题：若非空集合是封闭集，且，则也是封闭集；
(3)若非空集合是封闭集合，且为全体实数集，求证：不是封闭集.

8 . 设集合，集合，S，T中至少有两个元素，且S，T满足：
①对于任意，若，则；
②对于任意，若，则．
(1)若，则___________；若，则S的元素个数最多为___________．
(2)若，T中含有4个元素，求证：；
(3)若，且，求n的最大值．

9 . 设函数的定义域为集合A，集合，集合.
(1)求；
(2)若，证明．

10 . 若正整数集合（，n为正整数，且）满足：对任意的（，均为正整数），两数与中至少有一个属于，则称具有性质.（其中，，…，表示个变量）
(1)分别判断集合与是否具有性质；
(2)设正整数集合（，为正整数，且）具有性质，证明：对任意（i为正整数），都是的因数；
(3)若，求的最大值.