1 . 设是定义在R上的偶函数，其图象关于直线对称，对任意，都有，且．
(1)求；
(2)证明设是周期函数．

2 . 已知，函数．
(1)当时，若对任意都有，证明：；
(2)当时，证明：对任意的充要条件是；
(3)当时，讨论：对任意的充要条件．

3 . 已知函数有如下性质：如果常数，那么该函数在区间上是减函数，在上是增函数．
（1）如果函数（）的值域为，求b的值；
（2）研究函数（常数）在定义域上的单调性，并说明理由；
（3）对函数和（常数）作出推广，使它们都是你所推广的函数的特例．研究推广后的函数的单调性（只须写出结论，不必证明），并求函数（n是正整数）在区间上的最大值和最小值（可利用你的研究结论）．

4 . 设函数 ，求的单调区间，并证明在其单调区间上的单调性.

5 . 对于定义域为的函数，若存在正常数，使得是以为周期的函数，则称为余弦周期函数，且称为其余弦周期.已知是以为余弦周期的余弦周期函数，其值域为.设单调递增，，.

（1）验证是以为周期的余弦周期函数；

（2）设．证明对任意，存在，使得；

（3）证明：“为方程在上得解”的充要条件是“为方程在上有解”，并证明对任意都有.

6 . 设定义在上的函数满足：对于任意的、，当时，都有.
（1）若，求的取值范围；
（2）若为周期函数，证明：是常值函数；
（3）设恒大于零，是定义在上、恒大于零的周期函数，是的最大值.
函数. 证明：“是周期函数”的充要条件是“是常值函数”.

7 . 对定义域的函数，，规定：
     函数
   （1）若函数，，写出函数的解析式；
   （2）求问题（1）中函数的值域；
   （3）若，其中是常数，且，请设计一个定义域为R的函
            数，及一个的值，使得，并予以证明.

8 . 已知函数．
（1）证明：函数在上为增函数；
（2）用反证法证明：没有负数根．

9 . 有时可用函数

描述学习某学科知识的掌握程度，其中x表示某学科知识的学习次数（），表示对该学科知识的掌握程度，正实数a与学科知识有关.
（1） 证明：当时，掌握程度的增加量总是下降；
（2） 根据经验，学科甲、乙、丙对应的a的取值区间分别为,,
.当学习某学科知识6次时，掌握程度是85%，请确定相应的学科.