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1 . 一般地,当无限趋近于0时,运动物体位移的平均变化率无限趋近于一个常数,那么这个常数称为物体在时的____________ .
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2 . 函数的极值
(1)函数极值的定义:如图,函数y=f(x)在点x=a的函数值f(a)比它在点x=a附近其他点的函数值都小,;而且在点x=a附近的左侧<0,右侧>0. 类似地,函数y=f(x)在点x=b的函数值f(b)比它在点x=b附近其他点的函数值都大,;而且在点x=b附近的左侧>0,右侧<0. 我们把a叫做函数y=f(x)的_______ ,f(a)叫做函数y=f(x)的_______ ;b叫做函数y=f(x)的_______ ,f(b)叫做函数y=f(x)的_______ . 极小值点、极大值点统称为_______ ,极小值和极大值统称为_______ .
(2)函数在某点取得极值的必要条件和充分条件:一般地,函数y=f(x)在某一点的导数值为0是函数y=f(x)在这点取得极值的_______ . 可导函数y=f(x)在x=处取极大(小)值的充分条件是:
①_______ ;
②在x=附近的左侧(<0),右侧(>0).
(3)导数求极值的方法:解方程=0,当时,如果在附近的左侧>0,右侧<0,那么f()是_______ ;如果在附近的左侧<0,右侧>0,那么f()是_______ .
(1)函数极值的定义:如图,函数y=f(x)在点x=a的函数值f(a)比它在点x=a附近其他点的函数值都小,;而且在点x=a附近的左侧<0,右侧>0. 类似地,函数y=f(x)在点x=b的函数值f(b)比它在点x=b附近其他点的函数值都大,;而且在点x=b附近的左侧>0,右侧<0. 我们把a叫做函数y=f(x)的
(2)函数在某点取得极值的必要条件和充分条件:一般地,函数y=f(x)在某一点的导数值为0是函数y=f(x)在这点取得极值的
①
②在x=附近的左侧(<0),右侧(>0).
(3)导数求极值的方法:解方程=0,当时,如果在附近的左侧>0,右侧<0,那么f()是
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3 . 函数的单调性与导数的关系
一般地,函数f(x)的单调性与导函数f′(x)的正负之间具有如下的关系:在某个区间(a,b)上,如果________ ,那么函数y= f(x)在区间(a,b)上单调递增;如果_________ ,那么函数y= f(x)在区间(a,b)上单调递减.
注:在某区间内f′(x)>0(f′(x)<0)是函数f(x)在此区间上单调递增(减)的充分不必要条件. 可导函数f(x)在(a,b)上单调递增(减)的充要条件是对∀x∈(a,b),都有f′(x)≥0(f′(x)≤0)且f′(x)在(a,b)上的任何子区间内都不恒为零.
一般地,函数f(x)的单调性与导函数f′(x)的正负之间具有如下的关系:在某个区间(a,b)上,如果
注:在某区间内f′(x)>0(f′(x)<0)是函数f(x)在此区间上单调递增(减)的充分不必要条件. 可导函数f(x)在(a,b)上单调递增(减)的充要条件是对∀x∈(a,b),都有f′(x)≥0(f′(x)≤0)且f′(x)在(a,b)上的任何子区间内都不恒为零.
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解题方法
4 . 导数的运算
(1)基本初等函数的导数公式
(2)导数的四则运算法则
(3)简单复合函数的导数
一般地,对于两个函数y=f(u)和u=g(x),如果通过中间变量u,y可以表示成x的函数,那么称这个函数为函数y=f(u)和u=g(x)的复合函数,记作y= f(g(x)). 它的导数与函数y=f(u),u=g(x)的导数间的关系_________ . 即y对x的导数等于y对u的导数与u对x的导数的乘积.
(1)基本初等函数的导数公式
原函数 | 导函数 |
f(x)=c(c为常数) | f′(x)=0 |
f(x)=xα(α∈Q,且α≠0) | f′(x)= |
f(x)=sinx | f′(x)= |
f(x)=cosx | f′(x)= |
f(x)=ax(a>0,且a≠1) | f′(x)=axlna |
f(x)=ex | f′(x)= |
f(x)=logax(a>0,且a≠1) | f′(x)= |
f(x)=lnx | f′(x)= |
(2)导数的四则运算法则
法则 | |
和差 | [f(x)±g(x)]′=f′(x)±g′(x) |
积 | [f(x)g(x)]′= 特别地,[cf(x)]′= cf′(x) |
商 | ′=(g(x)≠0) |
(3)简单复合函数的导数
一般地,对于两个函数y=f(u)和u=g(x),如果通过中间变量u,y可以表示成x的函数,那么称这个函数为函数y=f(u)和u=g(x)的复合函数,记作y= f(g(x)). 它的导数与函数y=f(u),u=g(x)的导数间的关系
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5 . 导数的概念及其意义
(1)函数的平均变化率:对于函数y=f(x),设自变量x从x0变化到x0+Δx,相应地,函数值y就从f(x0)变化到f(x0+Δx). 这时,x的变化量为Δx,y的变化量为Δy=_________ . 我们把比值,即=叫做函数y=f(x)从x0到x0+Δx的平均变化率.
(2)导数的概念:如果当Δx→0时,平均变化率无限趋近于一个确定的值,即有极限,则称y=f(x)在x=x0处______ ,并把这个确定的值叫做y=f(x)在x=x0处的导数(也称为________ ),记作_______ 或y′|x=x0,即f′(x0)=lim =lim .
(3)导数的几何意义:函数y=f(x)在点x0处的导数的几何意义,就是曲线y=f(x)在点P(x0,f(x0))处的____________ . 也就是说,曲线y=f(x)在点P(x0,f(x0))处的切线的斜率是f′(x0). 相应的切线方程为________________
(4)导函数的概念:当x=x0时,f′(x0)是一个唯一确定的数,这样,当x变化时,y=f′(x)就是x的函数,我们称它为y=f(x)的_________ (简称导数). y=f(x)的导函数有时也记作y′,即f′(x)=y′=lim .
(1)函数的平均变化率:对于函数y=f(x),设自变量x从x0变化到x0+Δx,相应地,函数值y就从f(x0)变化到f(x0+Δx). 这时,x的变化量为Δx,y的变化量为Δy=
(2)导数的概念:如果当Δx→0时,平均变化率无限趋近于一个确定的值,即有极限,则称y=f(x)在x=x0处
(3)导数的几何意义:函数y=f(x)在点x0处的导数的几何意义,就是曲线y=f(x)在点P(x0,f(x0))处的
(4)导函数的概念:当x=x0时,f′(x0)是一个唯一确定的数,这样,当x变化时,y=f′(x)就是x的函数,我们称它为y=f(x)的
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