1 . 已知函数，为参数且．
(1)函数的值域为时，求参数m的取值范围；
(2)当时，若方程有两个不等实数解，，完成以下两个问题：
①求的取值范围；
②证明：．

2 . 设是定义在区间上的函数，且满足条件：
①；
②对任意的，都有．
(1)证明：对任意的；
(2)判断函数是否满足题设条件；
(3)在区间上是否存在满足题设条件的函数，且使得对任意的，都有，若存在，请举一例：若不存在，请说明理由．

3 . 已知函数，．
(1)当时，求的单调区间；
(2)设函数，
①若有且只有一个零点，求实数a的取值范围；
②记函数，若关于x的方程有4个根，从小到大依次为，，，，求证：；．

4 . 城市道路大多是纵横交错的矩形网格状，从甲地到乙地的最短路径往往不是直线距离，而是沿着网格走的直角距离，在直角坐标系中，定义点的“直角距离”为：，设.

(1)写出一个满足的点的坐标；
(2)过点作斜率为的直线，点分别是直线上的动点，求的最小值；
(3)设，记方程的曲线为，类比椭圆研究曲线的性质（结论不要求证明），并在所给坐标系中画出该曲线；

5 . 已知函数的定义域为D，若存在实数a，b，对任意的，有，且使得均成立，则函数的图像关于点对称，反之亦然，我们把这样的函数叫做“函数．
(1)已知“函数”的图像关于点对称，且时，；求时，函数的解析式；
(2)已知函数，问是否为“函数”？请说明理由；
(3)对于不同的“函数”与，若、有且仅有一个对称中心，分别记为和，
①求证：当时，仍为“函数”；
②问：当时，是否仍一定为“函数”？若是，请说明理由；若不一定是，请举出具体的反例．