1 . 对于定义域为D的函数y=f（x），如果存在区间[m，n]D，同时满足：
①f（x）在[m，n]内是单调函数；
②当定义域是[m，n]时，f（x）的值域也是[m，n]．则称[m，n]是该函数的“和谐区间”．
（1）证明：[0，1]是函数y=f（x）=x²的一个“和谐区间”．
（2）求证：函数不存在“和谐区间”．
（3）已知：函数（a∈R，a≠0）有“和谐区间”[m，n]，当a变化时，求出n﹣m的最大值．

2 . 已知，分别为定义在上的奇函数和偶函数，且．
(1)求和的解析式；
(2)若函数在上的值域为，求正实数a的值；
(3)证明：对任意实数k，曲线与曲线总存在公共点．

3 . 已知函数
(1)利用函数单调性的定义，判断并证明函数在区间上的单调性；
(2)若存在实数且，使得在区间上的值域为，求实数的取值范围.

4 . 已知函数是定义在区间上的奇函数，且，若对于任意的，都有.
(1)判断函数的单调性，并给出证明；
(2)若，存在，对于任意的恒成立，求实数的取值范围.

5 . 对于定义域为的函数，如果存在区间，同时满足：①在内是单调函数；②当定义域是时，的值域也是.则称是该函数的“和谐区间”.
（1）求证：函数不存在“和谐区间”.
（2）已知：函数有“和谐区间，当变化时，求出的最大值.

6 . 已知函数为偶函数.
（1）求实数a的值；
（2）判断的单调性，并证明你的判断；
（3）是否存在实数，使得当时，函数的值域为.若存在，求出的取值范围；若不存在说明理由.

7 . 已知函数，且.
（1）判断并证明在区间上的单调性；
（2）若函数与函数在上有相同的值域，求的值；
（3）函数，若对于任意，总存在，使得成立，求的取值范围.

8 . 已知函数，定义域为．
证明：；
若在上的值域为，求实数a的取值范围．