1 . 对于定义在上的函数，如果存在两条平行直线与，使得对于任意，都有恒成立，那么称函数是带状函数，若，之间的最小距离存在，则称为带宽.
（1）判断函数是不是带状函数？如果是，指出带宽（不用证明）；如果不是，说明理由；
（2）求证：函数（）是带状函数；
（3）求证：函数（）为带状函数的充要条件是.

3 . 已知函数．
      
(1)的值；
(2)记，画出函数的图象，写出其单调递减区间（无需证明）；

4 . 我们把定义在上，且满足（其中常数，满足，，）的函数叫做似周期函数．
（1）若某个似周期函数满足且图像关于直线对称．求证：函数是偶函数；
（2）当，时，某个似周期函数在时的解析式为，求函数，的解析式；
（3）对于确定的且时，，试研究似周期函数在区间上是否可能是单调函数？若可能，求出的取值范围；若不可能，请说明理由．

5 . 已知，若函数在区间[1，3]上的最大值为，最小值为，令.
（1）求的函数表达式；
（2）判断并证明函数在区间上单调性，并求出的最小值.

6 . 设函数在上有定义，实数和满足.若在区间上不存在最小值，则称在区间上具有性质P.
（1）当，且在区间上具有性质P，求常数C的取值范围；
（2）已知，且当时，，判别在区间上是否具有性质P；
（3）若对于满足的任意实数和，在区间上具有性质P，且对于任意，当时，有：，证明：当时，.

7 . 设为正整数，规定：，已知；
（1）设集合，对任意，证明：；
（2）求的值；

8 . 给定函数、，定义.
（1）证明：；
（2）若，，证明：是周期函数；
（3）若，，，，，证明：是周期函数的充要条件是为有理数.

9 . 已知函数．
（1）将函数写成分段函数的形式，并画出函数的大致图像；
（2）求证：函数在上是增函数；
（3）若关于的方程在区间上有两个不相等的实数根，求实数的取值范围．