1 . 我们知道，函数图像关于坐标原点成中心对称图形的充要条件是函数为奇函数，有同学发现可以将其推广为：函数的图像关于点成中心对称图形的充要条件是函数为奇函数．已知函数．
(1)利用上述结论，证明：函数的图像关于成中心对称图形；
(2)判断函数的单调性（无需证明），并解关于x的不等式：．

2 . 已知函数的定义域是，若对于任意的，，当时，都有，则称函数在上为不减函数.现有定义在上的函数满足下述条件：
①对于，总有，且，；
②对于，，若，则.
试证明下列结论：
(1)对于，，若，则；
(2)在上为不减函数；
(3)对，都有.

3 . 我们知道，函数的图象关于坐标原点成中心对称图形的充要条件是函数为奇函数，有同学发现可以将其推广为：函数的图象关于点成中心对称图形的充要条件是函数为奇函数.若函数的图象关于点对称，且当时，.
(1)求的值；
(2)设函数.
(i)证明函数的图象关于点对称；
(ii)若对任意，总存在，使得成立，求的取值范围.

4 . 我们知道，函数的图象关于坐标原点成中心对称的充要条件是函数为奇函数，有同学发现可以将其推广为：函数的图象关于点成中心对称的充要条件是函数为奇函数.
(1)依据推广结论，求函数图象的对称中心；
(2)请利用函数的对称性求的值；
(3)类比上述推广结论，写出“函数的图象关于x轴成轴对称的充要条件是函数为偶函数”的一个推广结论.（不需要证明）

5 . 定义是的导函数的导函数，若方程有实数解，则称点为函数的“拐点”.可以证明，任意三次函数都有“拐点”和对称中心，且“拐点”就是其对称中心，请你根据这一结论判断下列命题，其中正确命题是（       ）

A．存在有两个及两个以上对称中心的三次函数

B．函数的对称中心也是函数的一个对称中心

C．存在三次函数，方程有实数解，且点为函数的对称中心

D．若函数，则

6 . 已知函数，若存在非零实数､，使得对定义域内任意的，均有成立，则称该函数为阶梯周期函数.
（1）判断函数是否为阶梯周期函数，请说明理由.(其中表示不超过的最大整数，例如：，)
（2）已知函数，的图像既关于点对称，又关于点对称.
①求证：函数为阶梯周期函数；
②当时，(､为实数)，求函数的值域.

7 . 设，若函数定义域内的任意一个都满足，则函数的图象关于点对称；反之，若函数的图象关于点对称，则函数定义域内的任意一个都满足.已知函数.
（Ⅰ）证明：函数的图象关于点对称；
（Ⅱ）已知函数的图象关于点对称，当时，.若对任意的，总存在，使得成立，求实数的取值范围.

8 . 已知真命题：“函数的图象关于点成中心对称图形”的等价条件为“函数是奇函数”.
（1）将函数的图象向左平移1个单位，再向上平移2个单位，求此时图象对应的函数解析式，并利用题设中的真命题求函数图象对称中心的坐标；
（2）已知命题：“函数的图象关于某直线成轴对称图象”的等价条件为“存在实数a和b，使得函数是偶函数”.断该命题的真假.如果是真命题，请给予证明；如果是假命题，请说明理由，并类比题设的真命题对它进行修改，使之成为真命题（不必证明）.

9 . 定义：如果存在实常数a和b，使得函数总满足，我们称这样的函数是“型函数”.请解答以下问题：
（1）已知函数是“型函数”，求p和b的值；
（2）已知函数是“型函数”，求一组满足条件的k、m和a的值，并说明理由.
（3）已知函数是一个“型函数”，且，是增函数，若是在区间上的图像上的点，求点M随着变化可能到达的区域的面积的大小，并证明你的结论.

10 . 已知函数为奇函数.
（1）求常数的值；
（2）判断并用定义法证明函数的单调性；
（3）函数的图象由函数的图象先向右平移个单位，再向上平移个单位得到，写出的一个对称中心，若，求的值.