1 . 已知函数，函数是函数的反函数.
求函数的解析式，并写出定义域；
设，判断并证明函数在区间上的单调性:
若中的函数在区间内的图像是不间断的光滑曲线，求证:函数在区间内必有唯一的零点(假设为)，且.

2 . 已知定义域为的函数，对任意恒有.
(1)求证：当时，.
(2)若，恒有，求证：必有反函数.
(3)设是的反函数，求证：在其定义域内恒有.

3 . 已知函数的反函数的图象经过点．
（I）求函数的解析式；
（II）判断函数的奇偶性，并证明．

4 . 已知函数存在反函数，求证：函数和它的反函数具有相同的单调性.

5 . 已知函数．
（1）求证：函数在内单调递增；
（2）记为函数的反函数．若关于的方程在上有解，求的取值范围；
（3）若对于恒成立，求的取值范围．

6 . 已知函数，其中．
（1）当时，求证：函数是偶函数；
（2）已知，函数的反函数为，若函数在区间上的最小值为，求函数在区间上的最大值．

7 . 已知，其中是实常数.
（1）若，求的取值范围；
（2）若，求证：函数的零点有且仅有一个；
（3）若，设函数的反函数为，若是公差的等差数列且均在函数的值域中，求证：.

8 . 已知定义在实数集上的偶函数和奇函数满足.
（1）求与的解析式；
（2）求证：在区间上单调递增；并求在区间的反函数；
（3）设（其中为常数），若对于恒成立，求的取值范围.

9 . 已知函数是单调递增函数，其反函数是．
（1）若，求并写出定义域；
（2）对于⑴的和，设任意，，，求证：；
（3）已知函数和的图象有交点，求证：它们的交点一定在直线上．

10 . 已知的反函数是，求证：对任意正实数，都有.