1 . 已知函数.
(1)求函数的单调性;
(2)若有两个不相等的零点,且.
①证明:随的增大而增大;
②证明:.
(1)求函数的单调性;
(2)若有两个不相等的零点,且.
①证明:随的增大而增大;
②证明:.
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2 . 在信息理论中,和是两个取值相同的离散型随机变量,分布列分别为:,,,,,.定义随机变量的信息量,和的“距离”.
(1)若,求;
(2)已知发报台发出信号为0和1,接收台收到信号只有0和1.现发报台发出信号为0的概率为,由于通信信号受到干扰,发出信号0接收台收到信号为0的概率为,发出信号1接收台收到信号为1的概率为.
(ⅰ)若接收台收到信号为0,求发报台发出信号为0的概率;(用,表示结果)
(ⅱ)记随机变量和分别为发出信号和收到信号,证明:.
(1)若,求;
(2)已知发报台发出信号为0和1,接收台收到信号只有0和1.现发报台发出信号为0的概率为,由于通信信号受到干扰,发出信号0接收台收到信号为0的概率为,发出信号1接收台收到信号为1的概率为.
(ⅰ)若接收台收到信号为0,求发报台发出信号为0的概率;(用,表示结果)
(ⅱ)记随机变量和分别为发出信号和收到信号,证明:.
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3 . 已知函数,其中是自然对数的底数.
(1)当时,求曲线在点处的切线的斜截式方程;
(2)当时,求出函数的所有零点;
(3)证明:.
(1)当时,求曲线在点处的切线的斜截式方程;
(2)当时,求出函数的所有零点;
(3)证明:.
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2024高三·全国·专题练习
解题方法
4 . 已知曲线在点处的切线与曲线的另外一个交点为为线段的中点,为坐标原点.
(1)求的极小值并讨论的奇偶性.
(2)直线的斜率记为,若,,求证:.
(1)求的极小值并讨论的奇偶性.
(2)直线的斜率记为,若,,求证:.
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5 . 已知函数,其中.
(1)当时,判断的单调性;
(2)若存在两个极值点.
(ⅰ)证明:;
(ⅱ)证明:时,.
(1)当时,判断的单调性;
(2)若存在两个极值点.
(ⅰ)证明:;
(ⅱ)证明:时,.
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解题方法
6 . 已知函数有且只有一个零点,其中.
(1)求的值;
(2)若对任意的,有成立,求实数的最大值;
(3)设,对任意,证明:不等式恒成立.
(1)求的值;
(2)若对任意的,有成立,求实数的最大值;
(3)设,对任意,证明:不等式恒成立.
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解题方法
7 . 已知函数.
(1)若函数在上单调递增,求实数的值;
(2)求证:.
(1)若函数在上单调递增,求实数的值;
(2)求证:.
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8 . 求证:当时,.
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9 . 帕德近似是法国数学家亨利·帕德发明的用有理多项式近似特定函数的方法,在计算机数学中有着广泛的应用.已知函数在处的阶帕德近似定义为:,且满足:,,,…,.其中,,…,.已知在处的阶帕德近似为.
(1)求实数a,b的值;
(2)设,证明:;
(3)已知是方程的三个不等实根,求实数的取值范围,并证明:.
(1)求实数a,b的值;
(2)设,证明:;
(3)已知是方程的三个不等实根,求实数的取值范围,并证明:.
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10 . 意大利画家达·芬奇提出:固定项链的两端,使其在重力的作用下自然下垂,那么项链所形成的曲线是悬链线.1691年,莱布尼茨等得出悬链线可为双曲余弦函数的图象,类似的可定义双曲正弦函数.它们与正、余弦函数有许多类似的性质.
(1)类比正弦函数的二倍角公式,请写出(不证明)双曲正弦函数的一个正确的结论:________;
(2)当时,比较与的大小,并说明理由;
(3)证明:
(1)类比正弦函数的二倍角公式,请写出(不证明)双曲正弦函数的一个正确的结论:________;
(2)当时,比较与的大小,并说明理由;
(3)证明:
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