1 . 已知函数，若在其定义域内存在实数和，使得成立，则称是“跃点”函数，且称是函数的“跃点”.
(1)求证：函数是“1跃点”函数；
(2)若函数在上是“1跃点”函数，求实数的取值范围；
(3)是否同时存在实数和正整数，使得函数在上有2023个“跃点”？若存在，请求出所有符合条件的和，若不存在，请说明理由.

2 . 设函数.
(1)证明：在上单调递增；
(2)若方程在上有且仅有两个根、，证明：.

3 . 函数的最小正周期为.
（1）求的值；
（2）函数的图象沿轴向右平移个单位长度，得到函数的图象，令，若函数有两个零点、.
（1）求实数的取值范围；
（2）证明：.

4 . 已知函数，.
（1）对任意的，恒成立，求实数k的取值范围；
（2）设，证明：有且只有一个零点，且.

5 . 研究正弦函数的性质
（1）写出其单调增区间的表达式
（2）利用五点法，画出的大致图像
（3）用反证法证明的最小正周期是