1 . 如图，两条足够长且互相垂直的轨道相交于点，一根长度为的直杆的两端点分别在上滑动（两点不与点重合，轨道与直杆的宽度等因素均可忽略不计），直杆上的点满足，则面积的取值范围是______.

2 . 临沂一中校本部19、20班某数学兴趣小组在探究扇形时，发现如下现象：如图所示，⊙B向⊙A靠近的过程，就像月亮被磨弯一样.已知在某一时刻，圆A和圆B处于图1的状态，简化后如图2，， ，.则S_阴影=________ .

3 . 如图，某景区有三条道路，其中长为千米，是正北方向，长为千米，是正东方向，某游客在道路上相对东偏北度的且距离为千米的位置，则___________.

4 . 下面两图是正四面体与它的外接球被过球心的平面所被形成的截面图，图①中的三角形为正三角形，其面积为，图②中三角形的面积为，则________.
   

5 . 无字证明（proof without words）是指仅用图象而无需文字解释就能不证自明的数学命题，如图是某三角恒等式的无字证明，那么该图证明的三角恒等式为__________．
   

6 . 圆上有一定点是该圆上的两动点．如果为常数，可证必与某个圆相切，则的方程为__________．

7 . 直三棱柱底面各边的比为，侧棱长为，全面积为，则底面三角形各边长为_________.

8 . 在铺砌领域，有一座数学家们在半个多世纪里一直追寻的“圣杯”，这座圣杯名为“爱因斯坦”，指的是一个可以填满无限平面，且不会自我重复的“非周期性”铺砌块．2023年3月20日，一个由数学家和计算机科学家组成的研究团队，在论文预印网站arXiv上提交了一篇论文，表示他们找到了这样一种由多个相同的“风筝”粘在一起而形成的十三边形（如右图所示），只用此十三边形就能做到单铺砌块，也就是数学家们寻找的“圣杯”．若已知此十三边形最短的边长为1，则此十三边形的面积为_____________．

9 . 某同学在查阅资料时，发现一个结论：已知O是内的一点，且存在，使得，则．请以此结论回答：已知在中，，，O是的外心，且，则________．

10 . 已知圆锥SO的轴截面是边长为2的等边三角形，M为母线SA的中点，N为AB上靠近点B的三等分点，C位于底面圆周上，且．若过劣弧上的动点P作AB的平行线交OC于点Q，则三棱锥M－PQN体积的最大值为______