1 . 如图，在山脚
测得山顶
的仰角为
，沿倾斜角为
的斜坡向上走
米到
，在出测得山顶得仰角为
，
，求坡面的坡比．（坡比是坡面的垂直高度与水平宽度的比值）
(2)求证;山高
测得山顶的仰角为，沿倾斜角为的斜坡向上走米到，在出测得山顶得仰角为，
，求坡面的坡比．（坡比是坡面的垂直高度与水平宽度的比值）(2)求证;山高
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解题方法
2 . 球面几何在研究球体定位等问题有重要的基础作用．球面上的线是弯曲的，不存在直线，连接球面上任意两点有无数条曲线，它们长短不一，其中这两点在球面上的最短路径的长度称为两点间的球面距离．
纬线，赤道以北叫做北纬．如图1，将地球看作球体，假设地球半径为
，球心为
，北纬
的纬线所形成的圆设为圆
，且
是圆的直径，球面被经过球心和点
，
的平面截得的圆设为圆，求圆中劣弧
的长度，并判断其是否是，两点间的球面距离（只需判断、无需证明）．
(2)如图2，点，在球心为
的球面上，且
不是球的直径，试问，两点间的球面距离所在的圆弧
是否与球心共面？若是，写出证明过程，并求出当
，
时，，两点间球面距离所在的圆弧与球心所形成的扇形
的面积；若不是，请说明理由．
纬线，赤道以北叫做北纬．如图1，将地球看作球体，假设地球半径为，球心为，北纬的纬线所形成的圆设为圆，且是圆的直径，球面被经过球心和点，的平面截得的圆设为圆，求圆中劣弧的长度，并判断其是否是，两点间的球面距离（只需判断、无需证明）．(2)如图2，点
，在球心为的球面上，且不是球的直径，试问，两点间的球面距离所在的圆弧是否与球心共面？若是，写出证明过程，并求出当，时，，两点间球面距离所在的圆弧与球心所形成的扇形的面积；若不是，请说明理由．
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名校
解题方法
3 . 如图所示是某斜拉式大桥图片，为了解桥的一些结构情况，学校数学兴趣小组将大桥的结构进行了简化，取其部分可抽象成图（1）所示的模型，其中桥塔
与桥面
垂直，通过测量得知
，当为中点时，
.
(1)求
的长；
(2)设
，写出
与
的函数关系式；
(3)已知命题：函数
在
内为严格增函数；求证该命题为真命题，并用该命题求解在线段的何处时，
达到最大，最大值为多少？
与桥面垂直，通过测量得知，当为中点时，.(1)求
的长；(2)设
，写出与的函数关系式；(3)已知命题：函数
在内为严格增函数；求证该命题为真命题，并用该命题求解在线段的何处时，达到最大，最大值为多少？
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2023-03-30更新
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648次组卷
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3卷引用：上海市金山中学2022-2023学年高一下学期3月素养检测(一)数学试题
上海市金山中学2022-2023学年高一下学期3月素养检测(一)数学试题上海市奉贤中学2022-2023学年高一下学期期中数学试题（已下线）专题12 寒假成果评价卷 -【寒假自学课】（沪教版2020）
4 . 类比于平面三角形中的余弦定理，我们得到三维空间中的三面角余弦定理；如图1，由射线PA、PB、PC构成的三面角
，
，
，
，二面角
的大小为
，则
．
，平面
平面ABCD，
，
，求
的余弦值；
(2)当、
时，证明以上三面角余弦定理；
(3)如图3，斜三棱柱
中侧面
，
，
的面积分别为
，
，
，各侧面所应得平面与底面所成的三个二面角分别记为
，
，
，请用文字和符号语言描述你能够得到的正弦定理在三维空间中推广的结论，并证明．
，，，，二面角的大小为，则．
，平面平面ABCD，，，求的余弦值；(2)当
、时，证明以上三面角余弦定理；(3)如图3，斜三棱柱
中侧面，，的面积分别为，，，各侧面所应得平面与底面所成的三个二面角分别记为，，，请用文字和符号语言描述你能够得到的正弦定理在三维空间中推广的结论，并证明．
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2022-12-25更新
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676次组卷
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4卷引用：上海市嘉定区第一中学2022-2023学年高二上学期12月月考数学试题
上海市嘉定区第一中学2022-2023学年高二上学期12月月考数学试题（已下线）第五篇 向量与几何 专题17 三正弦定理、三余弦定理 微点2 三正弦定理、三余弦定理综合训练（已下线）第二章 立体几何中的计算 专题一 空间角 微点13 三正弦定理与三余弦定理综合训练【培优版】广东省深圳市深圳大学附属中学、龙城高级中学第二次段考2023-2024学年高一下学期5月月考数学试题
20-21高一·全国·课后作业
解题方法
5 . 作用于同一点的三个力
，
，
平衡，且，的夹角为，，的夹角为，，的夹角为．求证：
．
，，平衡，且，的夹角为，，的夹角为，，的夹角为．求证：．
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解题方法
6 . 某农场有一块等腰直角三角形的空地
，其中斜边
的长度为200米．为迎接“五一”观光游，欲在边界上选择一点，修建观赏小径
，
，其中
，
分别在边界，上，小径，与边界的夹角都为
．区域
和区域
内种植郁金香，区域
内种植月季花．
（1）求证：
为定值；
（2）为深度体验观赏，准备在月季花区域内修建小径
，当点在何处时，三条小径
的长度和最小？
，其中斜边的长度为200米．为迎接“五一”观光游，欲在边界上选择一点，修建观赏小径，，其中，分别在边界，上，小径，与边界的夹角都为．区域和区域内种植郁金香，区域内种植月季花．（1）求证：
为定值；（2）为深度体验观赏，准备在月季花区域内修建小径
，当点在何处时，三条小径的长度和最小？
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7 . 如图，在山脚测得山顶的仰角为，从处沿斜坡向上走米到达处，在处测得山顶的仰角为，且斜坡的倾斜角
.求证：山高
.
测得山顶的仰角为，从处沿斜坡向上走米到达处，在处测得山顶的仰角为，且斜坡的倾斜角.求证：山高.
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名校
解题方法
8 . 某种型号汽车四个轮胎半径相同，均为
，同侧前后两轮胎之间的距离（指轮胎中心之间距离）
（假定四个轮胎中心构成一个矩形），当该型号汽车开上一段上坡路（如图所示，其中
，
），且前轮
已在段上时，后轮中心在
位置；若前轮中心到达
处时，后轮中心在
处（假定该汽车能顺利驶上该上坡路），设前轮中心在和处时与地面的接触点分别为
和
，且
，
；（其它因素忽略不计）
（1）如图所示，
和
的延长线交于点，求证：
；
（2）当=
时，后轮中心从处移动到处实际移动了多少厘米？（精确到
）
，同侧前后两轮胎之间的距离（指轮胎中心之间距离）（假定四个轮胎中心构成一个矩形），当该型号汽车开上一段上坡路（如图所示，其中，），且前轮已在段上时，后轮中心在位置；若前轮中心到达处时，后轮中心在处（假定该汽车能顺利驶上该上坡路），设前轮中心在和处时与地面的接触点分别为和，且，；（其它因素忽略不计）（1）如图所示，
和的延长线交于点，求证：；（2）当
=时，后轮中心从处移动到处实际移动了多少厘米？（精确到）
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名校
9 . 《数书九章》是中国南宋时期杰出数学家秦九韶的著作，其中在卷五“三斜求积”中提出了已知三角形三边、
、
，求面积的公式，这与古希腊的海伦公式完全等价，其求法是“以小斜冥并大斜冥减中斜冥，余半之，自乘于上，以小斜冥乘大斜冥减上，余四约之，为实．一为从隅，开平方得积”若把以上这段文字写出公式，即若
，则
．
（1）已知
的三边，，，且，求证：的面积．
（2）若
，
，求的面积的最大值．
、、，求面积的公式，这与古希腊的海伦公式完全等价，其求法是“以小斜冥并大斜冥减中斜冥，余半之，自乘于上，以小斜冥乘大斜冥减上，余四约之，为实．一为从隅，开平方得积”若把以上这段文字写出公式，即若，则．（1）已知
的三边，，，且，求证：的面积．（2）若
，，求的面积的最大值．
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2019-11-06更新
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348次组卷
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3卷引用：河南省实验中学2019-2020学年高二上学期中数学（文）试题
名校
10 . 如图，A、B、C、D都在同一个与水平面垂直的平面内，B、D为两岛上的两座灯塔的塔顶，测量船于水面A处测得B和D点的仰角分别为75°、30°，于水面C处测得B点和D点的仰角均为60°，AC=1千米．
（2）计算B、D之间的距离（结果精确到米）
（2）计算B、D之间的距离（结果精确到米）
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