1 . （1）平面多边形中，三角形具有稳定性，而四边形不具有这一性质．如图所示，四边形的顶点在同一平面上，已知，．当长度变化时，是否为一个定值？若是，求出这个定值；若否，说明理由．
   
（2）记的内角，，的对边分别为，，，已知，求的取值范围．

2 . 为解决社区老年人“一餐热饭”的问题，某社区与物业、第三方餐饮企业联合打造了社区食堂，每天为居民提供品种丰富的饭菜，还可以提供送餐上门服务，既解决了老年人的用餐问题，又能减轻年轻人的压力，受到群众的一致好评.如图，送餐人员小夏从处出发，前往，，三个地点送餐.已知，，，且，.

(1)求的长度.
(2)假设，，，均为平坦的直线型马路，小夏骑着电动车在马路上以的速度匀速行驶，每到一个地点，需要2分钟的送餐时间，到第三个地点送完餐，小夏完成送餐任务.若忽略电动车在马路上损耗的其他时间（例如：等红绿灯，电动车的启动和停止…），求小夏完成送餐任务的最短时间.

3 . 某街道路宽为米，在道路的边缘点安装高度为米（即）的路灯，灯杆与灯柱成角．当灯罩轴线与灯杆垂直时，灯罩轴线正好通过的中点．

(1)求灯杆的长；
(2)路灯采用可旋转灯口方向的锥形灯罩，灯罩轴线与灯的边缘光线（如图，）都成角．设，是否存在，能使路灯的光线照亮整个路面？若存在，求的取值范围；若不存在，在，都落在路面上的条件下，求的最大值．

4 . 的内角A，B，C的对边分别为a，b，c．已知
(1)求角A；
(2)若为锐角三角形，且的面积为S，求的取值范围．

5 . 内角，，的对边分别为，，．若，，点在边上，并且，为的外心，则之长为（       ）

A．

B．

C．

D．

6 . 如图，直角中，点M，N在斜边BC上（M，N异于B，C，且N在M，C之间）.

（1）若AM是角A的平分线，，且，求三角形ABC的面积；
（2）已知，，，设.
①若，求MN的长；
②求面积的最小值.