1 . 已知等边三角形的边长为4，为边的中点，是边上的动点，则的取值范围为________．

2 . 已知的夹角为，则三角形的边上中线的长为________.

3 . 在年月日举行的北京冬奥会开幕式上，贯穿全场的雪花元素为观众带来了一场视觉盛宴，象征各国､各地区代表团的“小雪花”汇聚成一朵代表全人类“一起走向未来”的“大雪花”的意境惊艳了全世界（如图①），顺次连接图中各顶点可近似得到正六边形（如图②）.已知正六边形的边长为，若点是线段上的动点（包括端点），则的最小值是___________.

4 . 已知是边长为的正三角形，点P是的外接圆上一点，则的最大值是______．

5 . 在2022年2月4日举行的北京冬奥会开幕式上，贯穿全场的雪花元素为观众带来了一场视觉盛宴，象征各国、各地区代表团的“小雪花”汇聚成一朵代表全人类“一起走向未来”的“大雪花”的意境惊艳了全世界（如图①），顺次连接图中各顶点可近似得到正六边形（如图②）．已知正六边形的边长为1，点M满足，则_______；若点P是正六边形边上的动点（包括端点），则的最大值为_______．

6 . 莱洛三角形，也称圆弧三角形，是一种特殊三角形，在建筑、工业上应用广泛，如图所示，分别以正三角形的顶点为圆心，以边长为半径作圆弧，由这三段圆弧组成的曲边三角形即为莱洛三角形，已知两点间的距离为2，点为上的一点，则的最小值为______．

7 . 已知平面向量和满足，则在方向上的投影的最小值为___________.

8 . 已知是单位圆上的两点，，点是平面内异于的动点，是圆的直径．若，则的取值范围是________．

9 . 已知点和圆上的动点，则的取值范围是_________.

10 . 在直角中，，，，是内一点，且，若，则的最大值______．