1 . 已知双曲线C；经过点，右焦点为，且成等差数列.
(1)求C的方程；
(2)过F的直线与C的右支交于P，Q两点（P在Q的上方），PQ的中点为M，M在直线l:上的射影为N，O为坐标原点，设△POQ的面积为S，直线PN，QN的斜率分别为，，证明:是定值.

2 . 已知数列的前项和为满足：．
（1）求证：数列是等比数列，并且求；
（2）令，令，求数列的前项和．

3 . 在公差不为零的等差数列中，成等比数列.
（Ⅰ）求数列的通项公式；
（Ⅱ）设，设数列的前项和，求证.

4 . 对于无穷数列和函数，若，则称是数列的母函数．
(1)定义在上的函数满足：对任意，都有，且；又数列满足．
①求证：是数列的母函数；
②求数列的前项和．
(2)已知是数列的母函数，且，若数列的前项和为，求证：

5 . 设和是两个等差数列，记，
其中表示这个数中最大的数．
（Ⅰ）若，，求的值，并证明是等差数列；
（Ⅱ）证明：或者对任意正数，存在正整数，当时，；或者存在正整数，使得是等差数列．