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解题方法
1 . 已知在
中，
.证明：
(1)
；
(2)
在
上恒成立；
(3)
.
中，.证明：(1)
；(2)
在上恒成立；(3)
.
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2 . 设数列
的各项都是正数，
是一个给定的正整数，若对于任意的正整数
，
成等比数列，则称数列为“
型”数列.
(1)若是“
型”数列，且
，求
的值；
(2)若是“
型”数列，且
，
，求的前
项和
.
的各项都是正数，是一个给定的正整数，若对于任意的正整数，成等比数列，则称数列为“型”数列.(1)若
是“型”数列，且，求的值；(2)若
是“型”数列，且，，求的前项和.
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解题方法
3 . 设数列的各项均为正数，前项和为，已知
.
(1)证明数列是等差数列，并求其通项公式；
(2)若
､
､…､
都在函数
的图像上，设数列
的前项和为
，求
的值.
的各项均为正数，前项和为，已知.(1)证明数列
是等差数列，并求其通项公式；(2)若
､､…､都在函数的图像上，设数列的前项和为，求的值.
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4 . 已知
，数列的前项和为，且
；
（1）求证：数列是等比数列，并求出通项公式；
（2）对于任意的
（其中
，
，
，
均为正整数），若
和
的所有的乘积
的和记为，试求
的值；
（3）设
，
，若数列
的前项和为
，是否存在这样的实数
，使得对于所有的都有
成立？若存在，求出的取值范围；若不存在，请说明理由；
，数列的前项和为，且；（1）求证：数列
是等比数列，并求出通项公式；（2）对于任意的
（其中，，，均为正整数），若和的所有的乘积的和记为，试求的值；（3）设
，，若数列的前项和为，是否存在这样的实数，使得对于所有的都有成立？若存在，求出的取值范围；若不存在，请说明理由；
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5 . 如图所示，
，
，…，
，…是曲线
（
）上的点，
，
，…，
，…是x轴正半轴上的点，且
，
，…，
，…均为等腰直角三角形（
为坐标原点）.
（1）求数列的通项公式；
（2）设
，求.
，，…，，…是曲线（）上的点，，，…，，…是x轴正半轴上的点，且，，…，，…均为等腰直角三角形（为坐标原点）.（1）求数列
的通项公式；（2）设
，求.
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2021-09-25更新
|
550次组卷
|
2卷引用：高中数学解题兵法 第一百十二讲 归纳、猜想
6 . 设
，且
，其中m，
.
（1）求
中的最大数和最小数；
（2）求中所有元素之和；
（3）求
.
，且，其中m，.（1）求
中的最大数和最小数；（2）求
中所有元素之和；（3）求
.
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7 . 图形的被覆盖率是指，图形被覆盖部分的面积与图形的原面积之比．通常用字母
表示．如图所示，边长为1的正三角形被
层半径相等的圆覆盖，最下面一层与正三角形底边均相切，每一层相邻两圆外切，层与层相邻的圆相外切，且每一层两侧的圆与正三角形两边相切．记覆盖的等圆层数为时，等圆的半径为
，
．图中给出等于1，2，10时的覆盖情形．
（Ⅰ）写出
，
的值，并求数列
的通项公式；
（Ⅱ）证明：对任意的层数，此正三角形的被覆盖率低于91%．
（参考数据：
，
）
表示．如图所示，边长为1的正三角形被层半径相等的圆覆盖，最下面一层与正三角形底边均相切，每一层相邻两圆外切，层与层相邻的圆相外切，且每一层两侧的圆与正三角形两边相切．记覆盖的等圆层数为时，等圆的半径为，．图中给出等于1，2，10时的覆盖情形．（Ⅰ）写出
，的值，并求数列的通项公式；（Ⅱ）证明：对任意的层数
，此正三角形的被覆盖率低于91%．（参考数据：
，）
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8 . 我们要计算由抛物线
、
轴以及直线
所围成的曲边区域的面积
，可用轴上的分点0、
、
、…、
、1将区间
分成个小区间，从第二个小区间起，在每一个小区间上作一个小矩形，使得每个矩形的左上端点都在抛物线上，这么矩形的高分别为
、
、…、
，矩形的底边长都是，设所有这些矩形面积的总和为，就有
.
（1）求的表达式，并求出面积；（可以利用公式
）
（2）利用上述方法，探求由函数
、轴、
轴以及直线和所围成的区域的面积
.（可以利用公式：
）
、轴以及直线所围成的曲边区域的面积，可用轴上的分点0、、、…、、1将区间分成个小区间，从第二个小区间起，在每一个小区间上作一个小矩形，使得每个矩形的左上端点都在抛物线上，这么矩形的高分别为、、…、，矩形的底边长都是，设所有这些矩形面积的总和为，就有.（1）求
的表达式，并求出面积；（可以利用公式）（2）利用上述方法，探求由函数
、轴、轴以及直线和所围成的区域的面积.（可以利用公式：）
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9 . 已知数列的首项为
，前n顶和为．
（1）若
，求数列的通项公式；
（2）在（1）的条件下，是否存在，使得对任意
，恒有
（其中k是与正整数n无关的常数），若存在，求出x与k的值，若不存在，说明理由；
（3）若是无穷等比数列，且公比
，计算
．
的首项为，前n顶和为．（1）若
，求数列的通项公式；（2）在（1）的条件下，是否存在
，使得对任意，恒有（其中k是与正整数n无关的常数），若存在，求出x与k的值，若不存在，说明理由；（3）若
是无穷等比数列，且公比，计算．
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10 . 若数列满足：从第二项起的每一项不小于它的前一项的
（
）倍，则称该数列具有性质
.
（1）已知数列
，
，
具有性质
，求实数的取值范围；
（2）删除数列
，
，
，
，中的第3项，第6项，，第
项，，余下的项按原来顺序组成一个新数列
，且数列的前项和为，若数列
具有性质，试求实数的最大值；
（3）记
（
），如果
（
），证明：“
”的充要条件是“存在数列
具有性质
，且同时满足以下三个条件：（Ⅰ）数列的各项均为正数，且互异；（Ⅱ）存在常数
，使得数列收敛于
；（Ⅲ）
（
，这里
）”.
（）倍，则称该数列具有性质.（1）已知数列
，，具有性质，求实数的取值范围；（2）删除数列
，，，，中的第3项，第6项，，第项，，余下的项按原来顺序组成一个新数列，且数列的前项和为，若数列具有性质，试求实数的最大值；（3）记
（），如果（），证明：“”的充要条件是“存在数列具有性质，且同时满足以下三个条件：（Ⅰ）数列的各项均为正数，且互异；（Ⅱ）存在常数，使得数列收敛于；（Ⅲ）（，这里）”.
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