1 . 如图，正方形ABCD的边长为5 cm，取正方形ABCD各边的中点E，F，G，H，作第2个正方形EFGH，然后再取正方形 EFGH各边的中点I，J，K，L，作第3个正方形IJKL，依此方法一直继续下去.

(1)求从正方形ABCD开始，连续10个正方形的面积之和；
(2)如果这个作图过程可以一直继续下去，那么所有这些正方形的面积之和将趋近于多少？

2 . 已知数列的前项和为，且（为正整数）．
(1)求数列的通项公式；
(2)记，若对任意正整数，恒成立，求实数的最大值．

3 . 在平面直角坐标系中，函数在第一象限内的图像如图所示，试做如下操作，把轴上的区间等分成个小区间，在每一个小区间上作一个小矩形，使矩形的右端点落在函数的图像上.若用，表示第个矩形的面积，表示这个矩形的面积总和.

（Ⅰ）求的表达式；
（Ⅱ）请用数学归纳法证明等式：；
（Ⅲ）求的值，并说明的几何意义.

4 . 数列的前项和为，已知.
（1）求数列的通项公式；
（2）设数列，且，求证：是等比数列；
（3）求的值.

5 . 如图所示，设正方形的面积为1，正方形的面积为，正方形的面积为，它们的面积都比前者缩小，无限地作这种正方形.

（1）求所有这种正方形面积的和；
（2）点、、、、、，当无限增大时，求点无限地趋近哪一个点？
（3）点、、、、、，写出点的坐标，当无限增大时，求点无限地趋近哪一个点？

6 . 已知数列的前项和满足，求的值

7 . 过抛物线的一条弦的中点作平行于抛物线对称轴的平行线（或与对称轴重合），交抛物线于一点，称以该点及弦的端点为顶点的三角形为这条弦的阿基米德三角形（简称阿氏三角形）.
现有抛物线:，直线：（其中，，是常数，且），直线交抛物线于，两点，设弦的阿氏三角形是.

（1）指出抛物线的焦点坐标和准线方程；
（2）求的面积（用，，表示）；
（3）称的阿氏为一阶的；、的阿氏、为二阶的；、、、的阿氏三角形为三阶的；……，由此进行下去，记所有的阶阿氏三角形的面积之和为，探索与之间的关系，并求.

8 . （1）若对任意的，总有成立，求常数的值；
（2）在数列中，，求通项；
（3）在（2）的条件下，设，从数列中依次取出第项，第项，第项，按原来的顺序组成新数列，其中试问是否存在正整数，使得且成立？若存在，求出的值；若不存在，说明理由.

9 . 已知等差数列的公差不为0，其前项和为，等比数列的前项和为，公比为，且，求的值