1 . 若无穷数列的各项均为整数．且对于，，都存在，使得，则称数列满足性质P．
(1)判断下列数列是否满足性质P，并说明理由．
①，，2，3，…；
②，，2，3，…．
(2)若数列满足性质P，且，求证：集合为无限集；
(3)若周期数列满足性质P，求数列的通项公式．

2 . 对于数列，如果存在一个正整数，使得对任意的都有成立，那么就把这样一类数列称作周期为的周期数列，的最小值称作数列的最小正周期，以下简称周期.例如当时是周期为1的周期数列，当时是周期为4的周期数列.
(1)设数列满足不同时为0，求证：数列是周期为6的周期数列，并求数列的前2013项的和；
(2)设数列的前项和为，且.
①若，试判断数列是否为周期数列，并说明理由；
②若，试判断数列是否为周期数列，并说明理由；
(3)设数列满足，数列的前项和为，试问是否存在，使对任意的都有成立，若存在，求出的取值范围；不存在，说明理由.

3 . 对于向量，若，，三数互不相等，令向量，其中，，，.
(1)当时，试写出向量；
(2)证明：对于任意的，向量中的三个数，，至多有一个为0；
(3)若，证明：存在正整数，使得.

4 . 已知为实数，数列满足.
(1)当和时，分别写出数列的前5项；
(2)证明：当时，存在正整数，使得；
(3)当时，是否存在实数及正整数，使得数列的前项和？若存在，求出实数及正整数的值；若不存在，请说明理由.

5 . 已知为实数，数列满足：①；②．若存在一个非零常数，对任意，都成立，则称数列为周期数列．
(1)当时，求的值；
(2)求证：存在正整数，使得；
(3)设是数列的前项和，是否存在实数满足：①数列为周期数列；②存在正奇数，使得．若存在，求出所有的可能值；若不存在，说明理由．

6 . 无穷数列，若存在正整数，使得该数列由个互不相同的实数组成，且对于任意的正整数，中至少有一个等于，则称数列具有性质.集合.
（1）若，，判断数列是否具有性质；
（2）数列具有性质，且，求的值；
（3）数列具有性质，对于中的任意元素，为第个满足的项，记，证明：“数列具有性质”的充要条件为“数列是周期为的周期数列，且每个周期均包含个不同实数”.