1 . 若无穷数列的各项均为整数．且对于，，都存在，使得，则称数列满足性质P．
(1)判断下列数列是否满足性质P，并说明理由．
①，，2，3，…；
②，，2，3，…．
(2)若数列满足性质P，且，求证：集合为无限集；
(3)若周期数列满足性质P，求数列的通项公式．

2 . 若数列满足且，，证明：数列是周期数列且周期.

3 . 已知数列满足，且，
(1)求、的值；
(2)猜想的表达式，并用数学归纳法证明．

4 . 对于数列，如果存在一个正整数，使得对任意的都有成立，那么就把这样一类数列称作周期为的周期数列，的最小值称作数列的最小正周期，以下简称周期.例如当时是周期为1的周期数列，当时是周期为4的周期数列.
(1)设数列满足不同时为0，求证：数列是周期为6的周期数列，并求数列的前2013项的和；
(2)设数列的前项和为，且.
①若，试判断数列是否为周期数列，并说明理由；
②若，试判断数列是否为周期数列，并说明理由；
(3)设数列满足，数列的前项和为，试问是否存在，使对任意的都有成立，若存在，求出的取值范围；不存在，说明理由.

5 . 科拉茨是德国数学家，他在1937年提出了一个著名的猜想：任给一个正整数，如果是偶数，就将它减半（即）；如果是奇数，则将它乘3加1（即），不断重复这样的运算，经过有限步后，一定可以得到1．这是一个很有趣的猜想，但目前还没有证明或否定．如果对正整数（首项）按照上述规则施行变换后得到，依次施行变换后所得到的数组成数列，是数列的前项和，若，则________．

7 . 已知数列，满足，其中，.
(1)若，.
①求证：为等比数列；
②试求数列的前n项和.
(2)若，数列的前6291项之和为1926，前77项之和等于77，试求前2024项之和是多少？

8 . 已知为实数，数列满足：①；②．若存在一个非零常数，对任意，都成立，则称数列为周期数列．
(1)当时，求的值；
(2)求证：存在正整数，使得；
(3)设是数列的前项和，是否存在实数满足：①数列为周期数列；②存在正奇数，使得．若存在，求出所有的可能值；若不存在，说明理由．

9 . 对于向量，若，，三数互不相等，令向量，其中，，，.
(1)当时，试写出向量；
(2)证明：对于任意的，向量中的三个数，，至多有一个为0；
(3)若，证明：存在正整数，使得.