1 . 已知数列{a_n}满足a₁＝，前n项和S_n＝a_n.
(1)求a₂，a₃，a₄的值；
(2)猜想a_n的表达式，并用数学归纳法证明.

2 . 数列满足，且，.规定的通项公式只能用的形式表示.
（1）求的值；
（2）证明3为数列的一个周期，并用正整数表示；
（3）求的通项公式.

3 . 在数列中，已知，.
（1）求证：；
（2）若，求的值；
（3）若，求的值.

4 . 已知，，是直线上的个不同的点（，、，均为非零常数），其中数列为等差数列.
（1）求证：数列是等差数列；
（2）若点是直线上一点，且，求证：；
（3）设，且当时，恒有（和都是不大于的正整数，且）试探索：若为直角坐标原点，在直线上是否存在这样的点，使得成立？请说明你的理由．

5 . 无穷数列，若存在正整数，使得该数列由个互不相同的实数组成，且对于任意的正整数，中至少有一个等于，则称数列具有性质.集合.
（1）若，，判断数列是否具有性质；
（2）数列具有性质，且，求的值；
（3）数列具有性质，对于中的任意元素，为第个满足的项，记，证明：“数列具有性质”的充要条件为“数列是周期为的周期数列，且每个周期均包含个不同实数”.

6 . 已知有穷数列，，，，，若数列中各项都是集合的元素，则称该数列为数列．
对于数列，定义如下操作过程从中任取两项，，将的值添在的最后，然后删除，，这样得到一个项的新数列，记作（约定：一个数也视作数列）．若还是数列，可继续实施操作过程．得到的新数列记作，，如此经过次操作后得到的新数列记作．
(1)设，，，，请写出的所有可能的结果．
(2)求证：对数列实施操作过程后得到的数列仍是数列．
(3)设，，，，，，，，，，，求的所有可能的结果，并说明理由．

7 . 已知数列1，1，2，1，2，4，1，2，4，8，1，2，4，8，16，，其中第一项是2⁰，接下来的两项是2⁰，2¹，再接下来的三项是2⁰，2¹，2²，依此类推. 设该数列的前项和为,
规定：若,使得（），则称为该数列的“佳幂数”.
(1)将该数列的“佳幂数”从小到大排列，直接写出前3个“佳幂数”；
(2)试判断50是否为“佳幂数”，并说明理由；
(3)（i）求满足>70的最小的“佳幂数”;
（ii）证明：该数列的“佳幂数”有无数个.

8 . 已知数列满足：.
(Ⅰ)求证：；
（Ⅱ）求证：；
（Ⅲ）若求正整数的最小值.

9 . 设数列 中，若 ，则称数列为“凸数列”．
（Ⅰ）设数列为“凸数列”，若 ，试写出该数列的前6项，并求出该6项之和；
（Ⅱ）在“凸数列”中，求证： ；
（Ⅲ）设，若数列为“凸数列”，求数列前n项和 ．

10 . 已知数列满足（为常数，），
(1)当时，求；
(2)当时，求的值；
(3)问：使恒成立的常数是否存在？并证明你的结论.