1 . 设各项均为整数的无穷数列满足，且对所有，均成立.
（1）求的所有可能值；
（2）若数列使得无穷数列是公差为1的等差数列，求数列的通项公式；
（3）求证：存在满足条件的数列，使得在该数列中有无穷多项为2021.

2 . 已知数列与满足(为非零常数)，.
（1）若是等差数列，求证：数列也是等差数列；
（2）若，求数列的前2021项和；
（3）设，，，若对中的任意两项，，都成立，求实数的取值范围.

3 . 在数列中，
（1）求出并猜想的通项公式；
（2）用数学归纳方证明你的猜想.

4 . 在数列中，已知，.
（1）求证：；
（2）若，求的值；
（3）若，求的值.

5 . 数列满足，且，.规定的通项公式只能用的形式表示.
（1）求的值；
（2）证明3为数列的一个周期，并用正整数表示；
（3）求的通项公式.

6 . 已知，，是直线上的个不同的点（，、，均为非零常数），其中数列为等差数列.
（1）求证：数列是等差数列；
（2）若点是直线上一点，且，求证：；
（3）设，且当时，恒有（和都是不大于的正整数，且）试探索：若为直角坐标原点，在直线上是否存在这样的点，使得成立？请说明你的理由．

7 . 给定数列. 对，该数列前项的最大值记为，后项的最小值记为，.
（1）设数列为3,4,7,1. 写出的值；
（2）设是公比大于的等比数列，且，证明是等比数列；
（3）若，证明是常数列.

8 . 德国数学家科拉茨年提出了一个著名的猜想：任给一个正整数，如果是偶数，就将它减半（即）；如果是奇数，则将它乘加（即），不断重复这样的运算，经过有限步后，一定可以得到.对于科拉茨猜想，目前谁也不能证明，也不能否定.现在请你研究：如果对正整数（首项）按照上述规则施行变换后的第项为（注：可以多次出现），则的所有不同值的个数为

A．

B．

C．

D．

9 . 将正整数排成如图的三角形数阵，记第行的个数之和为.

（1）设，计算，，的值，并猜想的表达式；
（2）用数学归纳法证明（1）的猜想.

10 . 用部分自然数构造如图的数表：用表示第行第个数（），使得

每行中的其他各数分别等于其“肩膀”上的两个数之和,.设第（）行的第二个数为.
(1)写出第7行的第三个数；
(2)写出与的关系并求；
(3)设 证明：