1 . 已知数列满足，其中，.
(1)求，，，并猜想的表达式（不必写出证明过程）；
(2)设，数列的前项和为，求证：.

2 . 若无穷数列的各项均为整数．且对于，，都存在，使得，则称数列满足性质P．
(1)判断下列数列是否满足性质P，并说明理由．
①，，2，3，…；
②，，2，3，…．
(2)若数列满足性质P，且，求证：集合为无限集；
(3)若周期数列满足性质P，求数列的通项公式．

3 . 如图，曲线下有一系列正三角形，设第n个正三角形（为坐标原点）的边长为．

(1)求的值；
(2)求出的通项公式；
(3)设曲线在点处的切线斜率为，求证：．

4 . 若数列满足：，且，则称为一个数列．对于一个数列，若数列满足：，且，则称为的伴随数列．
(1)若数列中，，写出其伴随数列中的值；
(2)若为一个数列，为的伴随数列
①证明：“为常数列”是“为等比数列的充要条件；
②求的最大值．

5 . 已知无穷数列（）的前n项和为，记，，…，中奇数的个数为．
(1)若，请写出数列的前5项；
(2)求证：“为奇数，，3，4，为偶数”是“数列是严格增数列的充分不必要条件；
(3)若，2，3，，求数列的通项公式．

7 . 记直线为曲线的渐近线．若，过作轴的垂线交于点，过作轴的垂线交于点，再过作轴的垂线交于点依此规律下去，得到点列，，，和点列，，，，为正整数．记的横坐标为，．
(1)求数列的通项公式；
(2)证明：．

8 . 已知数列，若为等比数列，则称具有性质P.
(1)若数列具有性质，且，求的值；
(2)若，判断数列是否具有性质并证明；
(3)设，数列具有性质，其中，试求数列的通项公式.

9 . 对于数列，如果存在一个正整数，使得对任意的都有成立，那么就把这样一类数列称作周期为的周期数列，的最小值称作数列的最小正周期，以下简称周期.例如当时是周期为1的周期数列，当时是周期为4的周期数列.
(1)设数列满足不同时为0，求证：数列是周期为6的周期数列，并求数列的前2013项的和；
(2)设数列的前项和为，且.
①若，试判断数列是否为周期数列，并说明理由；
②若，试判断数列是否为周期数列，并说明理由；
(3)设数列满足，数列的前项和为，试问是否存在，使对任意的都有成立，若存在，求出的取值范围；不存在，说明理由.

10 . 已知数列的前项和满足（为正整数）.
(1)计算，，，并猜测通项公式；
(2)证明（1）中的猜想.