1 . 某网络销售平台每月进行一次经营状况调查，调查结果为销路好或销路差.历史数据表明：如果本月销路好，那么下个月继续保持这种状态的概率为；如果本月销路差，那么下个月变好的概率为.用分别表示第个月销路好和销路差的概率.
(1)若，求，，并证明是等比数列；
(2)证明：无论第一个月销路好还是销路差，经过较长时间的销售之后，销路好的概率都会趋近于常数.

2 . 设动点每次沿数轴的正方向移动，且第次移动1个单位的概率为，移动2个单位的概率为已知表示动点在数轴上第次移动后表示的数，在第一次移动前动点在数轴的原点处．

(1)若，，求的概率；
(2)若每次移动2个单位的概率都是移动1个单位的概率的2倍．

①求的概率；

②求动点能移动到自然数处的概率

3 . 下列结论正确的是（       ）．

A．若，且，则

B．若，，，则的最小值为4

C．函数的最小值为4

D．已知各项均为正数的数列满足，，则取最小值时，

4 . 2022年北京冬奥会开幕式中，当《雪花》这个节目开始后，一片巨大的“雪花”呈现在舞台中央，十分壮观.理论上，一片雪花的周长可以无限长，围成雪花的曲线称作“雪花曲线”，又称“科赫曲线”，是瑞典数学家科赫在1904年研究的一种分形曲线.如图是“雪花曲线”的一种形成过程：从一个正三角形开始，把每条边分成三等份，然后以各边的中间一段为底边分别向外作正三角形，再去掉底边，重复进行这一过程

若第1个图中的三角形的周长为1，则第n个图形的周长为___________；若第1个图中的三角形的面积为1，则第n个图形的面积为___________.

5 . 已知数列满足，数列的前项和为，若______，在以下三个条件中任选一个条件填入横线上，完成问题（1）和（2）：
①；
②数列满足：，，且的前项和为；
③．
问题：
（1）求数列的通项公式；
（2）数列是首项和公比均为2的等比数列，求数列中有多少个小于2021的项．

6 . “，数列”在通信技术有着重要应用，它是指各项的值都等于或的数列．设是一个有限，数列，表示把中每个都变为，，每个都变为，，所得到的新的，数列，例如，则．设是一个有限，数列，定义，、、、．则下列说法正确的是（       ）

A．若，则

B．对任意有限，数列、中和的个数总相等

C．中的，数对的个数总与中的，数对的个数相等

D．若，则中，数对的个数为