1 . 设数列满足，，且．
(1)计算，，猜测的通项公式，并加以证明．
(2)求证：．

2 . 已知数列满足：
(1)求、、；
(2)将数列中下标为奇数的项依次取出，构成新数列，
①证明：是等差数列；
②设数列的前m项和为，求证：．

3 . 设数列满足，，，，，
(1)求,,；
(2)猜想出的一个通项公式，并用数学归纳法证明你的结论；
(3)设,数列的前项和为，求证：.

4 . 在数列中，，其中.
（1）若依次成公差不为0的等差数列，求m;
（2）证明：“”是“恒成立”的充要条件;
（3）若，求证：存在，使得.

5 . 设S_n为数列{a_n}的前n项和，已知a₂＝3，S_n＝2S_n﹣1+n（n≥2）
（1）求出a₁，a₃的值，并证明：数列{a_n+1}为等比数列；
（2）设b_n＝log₂（a_3n+1），数列{}的前n项和为T_n，求证：1≤18T_n＜2．

6 . 已知各项为正的数列满足：， （）.
(1)求；
(2)证明： （）；
(3)记数列的前项和为，求证：.

7 . 若.
(1)求证:；
(2)令,写出的值,观察并归纳出这个数列的通项公式；
(3)证明:存在不等于零的常数，使是等比数列,并求出公比的值.

8 . 已知数列满足，且.
(1)求证：；
(2)令，求出的值，猜想数列的通项公式，并用数学归纳法证明.

9 . 已知常数 满足 ，数列 满足 ，．
Ⅰ 求 ，，；
Ⅱ 猜想 的通项公式，并给出证明；
Ⅲ 求证： 对 成立．

10 . 已知数列满足（）
（1）求；
（2）归纳猜想出通项公式，并且用数学归纳法证明；
（3）求证能被15整除．